Развитие базовой модели
Решением модели Марковица является портфель nt(E\ с наименьшим риском среди портфелей с доходностью £. Чтобы этот портфель был эффективным, необходимо, чтобы параметр £ , входящий в критериальные ограничения, удовлетворял неравенству:
E>Et,
где E„ - доходность портфеля с минимальным риском (рис. 14).
Рис. 14. Построение эффективных портфелей Qll
Инвестор выбирает из множества эффективных портфелей оптимальный для себя портфель. Все остальные достижимые портфели являются неэффективными. В современной теории выбора предполагается, что инвестор исходит при этом из своих предпочтений, отражающих индивидуальный характер осуществляемого им сравнения и выбора. Предпочтения инвестора определяется так называемыми, кривыми безразличия, являющимися стандартным аппаратом микроэкономического анализа.
Кривая безразличия - это кривая на критериальной плоскости, состоящая из оценок эквивалентных портфелей. Все портфели, лежащие на одной заданной кривой безразличия, являются равноценными для инвестора. Кривые безразличия не могут пересекаться. Любой портфель, который находится на кривой, проходящей выше и левее, будет для инвестора более предпочтительным, чем портфель, лежащий на кривой безразличия, расположенной ниже и правее.
Чем большее приращение дохода необходимо, чтобы компенсировать человеку возрастание риска, тем более он несклонен
к риску. Характер расположения кривых отображает индивидуальную для каждого инвестора взаимозаменяемость доходности и риска. На рис. 15 представлены графики кривых безразличия для инвесторов с высокой (а), средней (б) и низкой (в) степенью избегания риска. Очевидно, что инвестор с высокой степенью избегания риска имеет кривые безразличия с более крутым наклоном.
Рис. 15. Кривые безразличия инвесторов с различной степенью избегания риска: а - высокой; б - средней; в - низкой
Тангенс угла наклона кривой безразличия - это предельная норма замены между риском и доходом (MRSrrj, показывающая, каким должно быть увеличение дохода (премия за риск), чтобы компенсировать увеличение степени риска на одну единицу:
MRS =М^
АР иск ' другими словами, это - предельная норма замены, характеризующая относительную ценность для инвестора риска и дохода при данном уровне одного и другого, т.е. индивидуальную премию за риск.
Задача выбора в этом случае допускает наглядную геометрическую интерпретацию. Если имеется множество допустимых портфелей (?(л"), то оценка оптимального относительно заданной функции полезности U портфеля на плоскости (Е,о) будет точка касания эффективной границы критериального множества и кривой безразличия. Кривая безразличия при этом является линией уровня с максимальным значением полезности, среди кривых, пересекающих критериальное множество
На рис. 16 представлен выбор оптимального портфеля при различных значениях избегания риска для трех инвесторов.
Рис. 16. Выбор оптимального портфеля для трех инвесторов А, В, С
Таким образом, если возможности по инвестированию ограничиваются лишь некоторым набором рискованных активов, т.е. достижимые комбинации риска и дохода ограничены областью допустимых значений риска и ожидаемой доходности, то выбор инвестора определяется его индивидуальными предпочтениями.
Предположим, что на рынке, помимо рискованных инвестиций, существует возможность финансовых вложений, которые гарантированно обеспечивают получение определенного дохода, т.е. существует безрисковая ставка доходности. На практике свободными от риска, как правило, считаются краткосрочные государственные ценные бумаги или депозиты в сверхнадежном банке. При этом длинная позиция по такому активу (его покупка) означает кредитование со стороны инвестора (lending), а короткая позиция (продажа) интерпретируется как заимствование (borrowing).
Короткая продажа (short sale) совершается, когда инвестор уверен в понижении стоимости актива. Для этого он берет данный актив в долг у другого инвестора (кредитора) и сразу продает его, а впоследствии покупает на рынке по сниженной цене и возвращает своему кредитору. Например, инвестор уверен, что акции компании, которые стоят сейчас
$100, упадут в цене за полгода до $50. Предположим, что второй инвестор уверен в обратном, т.е. в будущем повышении цен на акции. Тогда первый инвестор, взяв взаймы акцию у второго и продав ее, получает $100. Если его ожидания оправдаются, то через полгода он сможет вновь купить ее по цене $50. Если дивиденды за полгода составили $5 на акцию, то доход от сделки первого инвестора составит (100 - 50 - 5) = $45. На практике короткая продажа требует некоторого начального капитала. Речь идет о марже- сумме, которую должен внести инвестор, осуществляющий короткую продажу, для обеспечения сделки. Величина маржи может быть существенно меньше стоимости взятых в кредит акций, как правило, она составляет некоторый процент от стоимости акций. Покупка акций с "маржой" означает, что инвестор берет в долг денежные средства (короткая позиция) и покупает на них акции (длинная позиция). Именно это обстоятельство способствовало широкому распространению моделей с безрисковым активом, допускающим, в частности, короткую продажу.
Коротких позиций может быть несколько и, хотя они на большинстве фондовых бирж Запада вполне допустимы, биржи могут вводить ограничения на общую величину коротких позиций в сделках, а по некоторым видам ценных бумаг вводится запрет на короткие продажи.
Будем считать, что существует актив, характеризующийся определенной ставкой доходности и нулевым риском. На диаграмме в координатах риска и дохода - это точка, лежащая на оси среднего
дохода (рис. 17, точка О). Ставка ;/0 называется безрисковой ставкой
доходности. В этом случае перед инвестором стоит задача распределения инвестиций между некоторым рискованным активом (или
портфелем активов) с ожидаемым доходом fip и стандартным
отклонением ст , и безрисковым вложением средств по ставке //„,
причем /.1р>/и0. Пусть хр - доля богатства, вкладываемая в
рискованное направление, х0 - доля, инвестируемая по безрисковой ставке. Доходность общего портфеля равна
К =хРНр+х0Ио- (3-2)
Риск (стандартное отклонение доходности) общего портфеля а'
оудет равен (учитывая, что стандартное отклонение детерминированной величины равно нулю):
Уравнения (3.2) и (3.3) при хр > 0, ха > О, хр + х0 = 1 параметрически задают отрезок ОА на плоскости (см. рис. 17). Если хр =0, то х0 = 1 и параметры портфеля соответствует точке О. При
л"/; = 1 и л0 = 0 - все средства направляются в рискованные вложения
и портфель определяется точкой /j . Все возможные промежуточные значения, когда часть инвестиций являются рискованными, а часть -безрисковыми, лежат на отрезке ОА ■
Рис. 17. Сочетание рискованных и безрисковых инвестиций в портфеле
Задача инвестора, когда он может одновременно формировать портфель из рискованных и безрисковых активов, сводится к двум подзадачам: во-первых, необходимо выбрать рискованный портфель из множества допустимых; во-вторых, распределить средства между безрисковыми вложениями и рискованным портфелем.
Допустимые сочетания риска и дохода при различных сочетаниях безрисковых и рискованных инвестиций в случае выбора портфеля д отражаются лучом ОА . при выборе портфеля ft - лучом ОБ (рис. 18). Очевидно, что выбор портфеля /? обеспечивает больший средний доход при одинаковой степени риска. Сравнивая аналогично портфели д,-/ и „ приходим к выводу, что портфель д./ , в свою очередь, лучше портфеля g . Таким образом, если существует возможность безрискового инвестирования, то наилучшим для любого несклонного к риску инвестора будет тот портфель рискованных активов, которые соответствует точке касания луча, проведенного из точки о с
координатами ;/() , к границе эффективного множества Марковица.
Различными могут лишь быть пропорции, в которых инвесторы распределяют свои средства между рискованными и безрисковыми инвестициями (т.е. между портфелем д,/ и безрисковым активом). Относительно более консервативный инвестор выберет решение ближе к точке О ■ Агрессивный инвестор может принять решение инвестировать средства в портфель Д// не только за счет собственных средств, но и за
Рис. 18. Рыночный портфель и предпочтения инвесторов относительно
выбора комбинаций рискованных и безрисковых инвестиций:
ЕЕ' ~ граница эффективного множества рискованных портфелей;
М - точка, соответствующая рыночному портфелю; /.и - безрисковая ставка
доходности; /ц - ожидаемый доход рискованного портфеля /V/ I X - портфель с безрисковым активом, соответствующий консервативному
подходу; у - портфель, характеризующий агрессивного инвестора, вкладывающего средства, полученные за счет кредитования, в рискованный
портфель Д//
счет кредитования по ставке /л0. Однако, независимо от предпочтения
инвесторов, оптимальный портфель рискованных активов является одинаковым для всех участников.
Безрисковое кредитование по ставке /л0 аналогично короткой
продаже безрискового актива. Возвращаясь к рис. 17, возможна
ситуация, когда д0 < 1 и х > 1 при условии сохранения бюджетного
ограничения х + х0 = 1. В этом случае возможные комбинации риска и дохода также определяются уравнениями (3.2) и (3.3), но они не ограничиваются отрезком ОА • а расширяются на весь луч ОАА', ПРИ этом комбинации риска и дохода, достигаемые через кредитование, изображены пунктирной линией (см. рис. 17).