Условия для электростатического поля на границе раздела изотропных диэлектрических сред

 

1. Составляющая вектора напряженности, параллельная границе раздела диэлектриков (тангенциальная составляющая), не изменяется при переходе через границу раздела диэлектриков:

E_2t = E_1t и D _2t / D _1t = e ₂ / e ₁.

 

2. Разность нормальных составляющих вектора электрического смещения на границе раздела диэлектриков равна поверхностной плотности свободных электрических зарядов на границе раздела:

D_1n - D_2n= s _своб и e₁ Е_1n - e₂ E_2n= s _своб /e _о .

 

Р _1n - P _2n = s _связ .

 

Если s _своб = 0, то e₂ E _2n = e₁Е _1n и D _n2 = D _1n .

 

Примеры решения задач

Пример 1. Диагонали ромба имеют длину d₁ = 2 см, d₂ = 3 см. На концах короткой диагонали расположены заряды q₁ = 2 нКл, q₂ = 6 нКл; на концах длинной - заряды q₃ = 3 нКл, q₄ = 12 нКл. Определить модуль вектора напряженности электрического поля в центре ромба и угол между вектором напряженности и короткой диагональю.

Решение

Рис.1.5

 

Так как электрическое поле создано несколькими зарядами, то для нахождения его напряженности надо применить принцип суперпозиции. Напряженность результирующего поля равна векторной сумме напряженностей полей, созданных каждым зарядом в отдельности:

.

Направления векторов показаны на рис.1.5. Модули составляющих векторов можно найти по формуле напряженности поля точечного заряда:

 

 

Чтобы сложить вектора, выберем координатные оси х и у , как показано на рисунке, и найдем проекции результирующего вектора E_x и E_y как суммы проекций всех составляющих векторов на эти оси координат:

 

 

Здесь Е_1х = - Е₁, Е_2х = Е₂, Е_3х = 0, Е_4х = 0,

 

Е_1у = 0, Е_2у = 0, Е_3у = - Е₃, Е_4у = Е₄ .

 

Тогда

Вычислим проекции вектора :

 

 

Модуль результирующего вектора Е найдем через его проекции на оси координат:

 

Найдем теперь угол, который вектор образует с короткой диагональю ромба. Из рисунка видно, что значит a = 45^о.

 

Ответ: Е = 5,09×10⁵ В/м, a = 45^о.

Пример 2. Тонкий стержень длиной l = 10 см заряжен с линейной плотностью t = 400 нКл/м. Найти напряженность электрического поля в точке, расположенной на перпендикуляре к стержню, проведенном через один из его концов, на расстоянии r₀ = 8 см от его конца.

Рис.1.6

Решение

 

 

Применим принцип суперпозиции для поля непрерывно распределенных зарядов:

.

Выделим на стержне бесконечно малый участок длиной dl (рис.1.6) Находящийся на нем заряд можно считать точечным, и напряженность поля, созданного им, рассчитывать как

.

Из приведенного рисунка видно, что

Следует иметь в виду, что вектор, поэтому прежде чем интегрировать, выберем оси координат х и y и найдем проекции вектора на эти оси:

 

,

 

или, учитывая сделанные подстановки,

 

Интегрируя эти выражения в пределах от 0 до b (рис. 1.6. ), получим:

 

где Е_х и Е_у – проекции результирующего вектора на оси х и у.

Подставим числовые значения заданных величин в системе СИ и произведем вычисления:

 

 

 

Вектор напряженности определится через проекции Е_х и Е_у :

 

 

где – орты координатных осей х и у.

Модуль вектора напряженности найдем через его проекции на оси координат:

 

.

Вычислим:

 

Ответ: Е = 39,3×10³ В/м.

 

Пример 3. Тонкие стержни образуют квадрат со стороной l. Стержни заряжены с линейной плотностью t = 1,33 нКл/м. Найти потенциал j в центре квадрата.