Основные справочные формулы
· Формула де Бройля, выражает связь длины волны 
с импульсом р движущейся частицы, для двух случаев:
а). в нерелятивистском случае (p=m0V), если V<<c
; (3.6)
б). в релятивистском случае ( 
), если V→c,
, (3.7)
где: h – постоянная Планка;
m0 – масса покоя частицы;
V – скорость частицы;
с – скорость света в вакууме.
· Связь длины волны де Бройля с кинетической энергией Т частицы
а) для нерелятивистского случая
; (3.8)
б) для релятивистского случая
, (3.9)
где Е0=m0с – энергия покоя.
· Соотношения неопределенностей Гейзенберга имеют вид
(3.10)
(3.11)
где DPx – неопределенность проекций импульса на ось х;
ΔE – неопределенность энергии частицы;
Δt – неопределенность времени;
Δx – неопределенность координаты.
· Если потенциальное поле U не зависит от времени, то можно записать стационарные уравнения Шредингера. Для одномерного случая уравнения будут иметь вид:
(3.12)
(3.13)
где Е – энергия частицы;
ψ – функция, зависящая от х;
φ – функция, зависящая от t.
Волновая функция частицы
(3.14)
определяется решениями (3.12) и (3.13).
· Для свободного электрона выражение (3.14) прнимает плоской волны, движущейся в направлении х:
, (3.15)
где kx-ωt – фаза волны.
· Участок волны, имеющий данное значение фазы и движущийся в вдоль оси х имеет фазовую скорость:
(3.16)
· В реальном случае волны де Бройля накладываются друг на друга, образуя волновой пакет, который движется с групповой скоростью υr:
(3.17)
Эта скорость совпадает со скоростью распространения частицы.
· Вероятность dW обнаружить частицу в интервале dx (для одномерного случая) выражается формулой:
. (3.18)
Вероятность W обнаружить частицу в интервале от x1 до x2 находится интегрированием:
(3.19)
Собственное значение энергии En частицы, находящейся на n-ом энергетическом уровне в бесконечно глубокой потенциальной яме, выражается формулой:
, 
(3.20)
где L – ширина потенциальной ямы.
Собственная волновая функция, соответствующая (3.20) имеет вид:
. (3.21)
· Коэффициент преломления n волн де Бройля на границе потенциальной ступени, если 
(низкая потенциальная ступень) имеет вид:
. (3.22)
Коэффициенты отражения R и прохождения А волн де Бройля через низкую потенциальную ступень (рис. 3.2):
(3.23)
Рис. 3.2
· Коэффициент прозрачности D прямоугольного потенциального барьера ширины d (рис. 3.3)
(3.24)
Рис. 3.3
· Собственное значение энергии электрона в водородоподобном атоме:
(3.25)
где n – главное квантовое число (n=1,2,3,...);
ε0 – электрическая постоянная;
z –число протонов в ядре атома.
· Квантовый гармонический осциллятор имеет энергию:
Еп=hν(n+1/2), (3.26)
где n – квантовое число.
· Энергия фонона также определяется формулой
Еф=hν. (3.27)