Примеры решения задач

Пример 1. Определить число узлов, приходящееся на одну элементарную ячейку в базоцентрированной ромбической решетке.

Решение.Выделим элементарную ячейку в кубической решетке (рис. 3.1) и определим, скольким соседним элементарным ячейкам принадлежит той или иной узел выделенной ячейки. Узлы в углах принадлежат одновременно восьми элементарным ячейкам, узлы на гранях принадлежат только двум ячейкам. Поэтому общее число узлов, приходящееся на одну базоцентрированную ячейку,

n=1/8×8+1/2×2=2 узла.

`

Рис. 3.1. Элементарная ячейка

Пример 2.Определить число элементарных ячеек кристалла меди объемом V=1 см³.

Решение.Число элементарных ячеек кристалла определяется из выражения (3.4)

z=ρkN_aV/nM.

Поскольку ячейка состоит из одинаковых атомов, то k=1. Плотность меди считаем известной (ρ=8,93×10³ кг/м³). Малярная масса вещества определяется с помощью периодической таблицы Менделеева (М=63,55×10^-3 кг/моль). Медь относится к кристаллам гранецентрированной кубической решетки, следовательно ее ячейка содержит 4 атома (n=4). Подставив данные в расчетную формулу, получим

z=8,93×10³×1×6,02×10²³×1×10^-6/(4×63,55×10^-3)=2,11×10²².

 

Пример 3.Определить параметры решетки а и расстояние d между ближайшими соседними атомами кристалла кальция.

Решение.Поскольку кальций имеет ГЦК-решетку, то объем элементарной ячейки V=a³. С другой стороны, объем элементарной ячейки может быть найден из соотношения (3.2)

V=V_M/Z_M.

В результате можно записать с учетом (3.4)

a= .

Подставляя значения величин n, М и N_a в формулу и проводя вычисления, получим

а=556 пм.

Расстояние между ближайшими соседними атомами находится из простых геометрических соображений

d=a/ .

d=393 пм

 

Пример 4.Написать индексы направления прямой, проходящие через узлы [[110]] и [[011]] кубической примитивной решетки.

Решение.Рассмотрим аналитический метод решения. Напишем в общем виде уравнение прямой, проходящей через две точки в пространстве, с индексами узлов [[m₁ n₁ p₁]] и [[m₂ n₂ p₂]

Величины, стоящие в знаменателях, пропорциональны направляющим косинусам прямой. Но так как эти величины целочисленны (по определению), то они и будут являться индексами направления. Подставляя в знаменатели данного выражения значения индексов узлов, получим:

m₂-m₁=0-1=-1

n₂-n₁=1-1=0

p₂-p₁=1-0=1

Таким образом искомые индексы направления [101].

Возможен также графический способ решения.

 

Пример 5.Найти индексы Миллера для плоскости, содержащей узлы с индексами [[2 0 0]], [[0 1 0]] и [[0 0 2]].

Решение.Анализ условий задачи показывает, что известны отрезки, отсекаемые плоскостью на осях координат. Отрезки выражаются в единицах постоянной решетки соответственно 2,1,2. В соответствии с общим правилом нахождения индексов Миллера запишем обратные значения данных чисел ½; 1/1; ½ и приведем их к наименьшему целому кратному этих чисел (умножив их на 2). Полученная совокупность значений и есть искомые индексы Миллера – (1 2 1).

Можно воспользоваться аналитическим методом, решая задачу об отыскании уравнения плоскости, проходящей через три точки с заданными индексами Миллера. Особенно удобен этот способ в том случае, когда точки не лежат на осях координат.

Задачи

1.1. Сколько атомов приходится на одну элементарную ячейку примитивной решетки кубической сингонии? Нарисовать ячейку.

1.2. Назвать и нарисовать элементарную ячейку кристаллической решетки кубической сингонии, содержащую 2 атома.

1.3. Сколько атомов приходится на одну элементарную ячейку гранецентрированной решетки кубической сингонии? Нарисовать ячейку.

1.4. Определить и нарисовать элементарную ячейку кристаллической решетки гексагональной сингонии, если она содержит 2 частицы.

1.5. Сколько атомов приходится на две смежных элементарных ячейки триклинной сингонии? Нарисовать ячейки.

1.6. Определить и нарисовать элементарную ячейку кристаллической решетки моноклинной сингонии, если она содержит 1 частицу.

1.7. Сколько атомов приходится на две элементарных ячейки базоцентрированной решетки ромбической сингонии. Нарисовать ячейки.

1.8. Определить и нарисовать элементарную ячейку кристаллической решетки ромбической сингонии, если она имеет 2 частицы.

1.9 Сколько атомов приходится на четыре элементарных ячейки гранецентрированной решетки ромбической сингонии? Нарисовать ячейки.

1.10. Определить и нарисовать элементарную ячейку кристаллической решетки тетрагональной сингонии, если она содержит 2 атома.

1.11. Определить число элементарных ячеек кристалла объемом V=1 м³ (ГЦК решетка).

1.12. Определить число частиц в кристалле CsCl объемом 1 м³ (ГЦК).

1.13. Найти число элементарных ячеек в кристалле меди объемом V=1 см³ (ГЦК).

1.14 Определить число частиц в кристалле меди объемом 10 см³ (ГЦК).

1.15. Вычислить число элементарных ячеек в кристалле кобальта объемом 1 м³ (структура гексагональная).

1.16. Определить число частиц в 1 см³ кристалла кобальта (структура гексагональная).

1.17. Найти число элементарных ячеек в 10 см³ кристалла магния (структура гексагональная).

1.18. Определить число частиц в 5 см³ кристалла магния (структура гексагональная).

1.19. Найти число элементарных ячеек в 5 см³ бериллия (структура гексагональная).

1.20. Определить число частиц в 1 м³ кристалла бериллия (структура гексагональная).

1.21. Определить плотность кристалла гелия при температуре 2К. Структура гексагональная, а=0,357 нм.

1.22. Вычислить постоянную решетки кристалла бериллия, который имеет гексагональную структуру, параметр решетки равен 0,359 нм.

1.23. Определить постоянные а и с решетки магния, который представляет собой гексагональную структуру.

1.24. Вычислить постоянную решетки и расстояние d между ближайшими соседними атомами для алюминия (ГЦК).

1.25. Определить атомную массу кристалла, если известно, сто расстояние d равно 0,304 нм.

1.26. Вычислить постоянную решетки и расстояние d для вольфрама (ОЦК).

1.27. Найти плотность кристалла неона (Т=20К), если решетка ГЦК и а=0,452 нм.

1.28. Найти плотность кристалла стронция, если известно, что его решетка ГЦК и а=0,43 нм.

1.29. Найти постоянную решетки и расстояние d для кристалла стронция (ГЦК).

1.30. Вычислить постоянную решетки и расстояние d для кристалла меди (ГЦК).

1.31. Написать индексы направлений прямых, проходящих в кубической решетке через начало координат и узел с кристаллографическими индексами, в двух случаях 1) [[1 2 1]]; 2)[[1 1 2]]. Показать на рисунке.

1.32. Написать индексы направлений ,проходящих через два узла 1) [[1 2 1]] и [[1 3 1]]; 2) [[2 1 1]] и [[1 1 1]]. Показать на рисунке.

1.33. Найти индексы Миллера плоскости, отсекающей на осях координат отрезки ; ; . Показать на рисунке.

1.34. Найти индексы плоскости, отсекающей на осях отрезки ; ; . Показать на рисунке.

1.35. Найти индексы вертикальной плоскости, отсекающей на оси х отрезок 2а, на оси у – отрезок 3b. Проиллюстрировать плоскость.

1.36. Найти индексы плоскости, отсекающей на осях отрезки 1а; -3b; 2с. Дать иллюстрацию плоскости.

1.37. Система плоскостей примитивной кубической решетки задана индексами (1 1 1). Определить расстояние d между соседними плоскостями, если параметр решетки равен 0,3 нм.

1.38. Система плоскостей в примитивной кубической решетке задана индексами Миллера (2 2 1). Найти наименьшие отрезки, отсекаемые плоскостью на осях координат, и изобразить эту плоскость графически.

1.39. Определить параметр а примитивной кубической решетки, если межплоскостное расстояние d для системы плоскостей (-2 1 2) равно 0,12 нм.