Введение

Определение момента инерции тела, скатывающегося

С наклонной поверхности

Цель: определить момент инерции тела относительно мгновенной оси вращения расчётным и экспериментальным методом.

Оборудование: установка, набор тел, штангенциркуль, секундомер.

 

Введение

 

Моментом инерции системы материальных точек относительно оси вращения называется величина , равная сумме произведений масс материальных точек на квадраты расстояний их до оси:

.

Физический смысл этой величины становится ясным при сравнении математической записи основного уравнения динамики вращательного движения системы и второго закона Ньютона для материальной точки . Здесь – составляющая результирующего момента внешних сил относительно оси вращения, – угловое ускорение неизменяемой системы материальных точек. При вращении системы, момент инерции играет роль массы, т.е. служит мерой инерции системы при вращательном движении.

При вычислении момента инерции абсолютно твердого тела плотностью объемом и массой относительно оси его разбивают на физически малые элементы (см. рис. 1). Тогда момент инерции всего тела

.

В случае простых симметричных тел наиболее удобной для вычисления оказывается величина – момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс. Выражения для даются в справочниках и их легко получить самостоятельно. Например, для однородного диска или цилиндра радиуса и массой момент инерции относительно оси симметрии равен , а для однородной пря­мо­у­голь­ной пластины массы с размерами и момент инерции относительно оси, перпендикулярной ее плоскости, равен .

В лабораторной работе одно из используемых тел (см. рис. 2), состоит из оси (цилиндра), пластины и диска. Момент инерции всего тела является суммой моментов инерции его составных частей:

.

В механике доказывается важное геометрическое соотношение, которое называется теоремой Гюйгенса–Штейнера: момент инерции тела относительно какой-либо оси равен моменту инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр масс, сложенному с величиной , где – масса тела, – расстояние между осями:

.

Это соотношение позволяет значительно упростить решение задач динамики, связанных с вычислением моментов инерции относительно параллельных осей.

В данной лабораторной работе будет определяться момент инерции тела, скатывающегося по наклонной поверхности. Такое движение тела можно рассматривать как сумму поступательного и вращательного относительно оси, перпендикулярной направлению движения. При этом траектории всех точек тела лежат в параллельных плоскостях (плоское движение). Плоское движение можно представить двумя способами: либо как совокупность поступательного движения тела со скоростью центра масс и вращательного вокруг оси, проходящей через центр масс; либо как только вращательное движение вокруг мгновенной оси вращения (МОВ), положение которой непрерывно изменяется. В нашем случае эта мгновенная ось вращения проходит через точки касания направляющих с движущимся стержнем параллельно оси, проходящей через центр масс тела.