Практические задания
1.Дама просто приятная решила похудеть и, как это нередко случается, обратилась за советом к подруге. Подруга – дама приятная во всех отношениях – посоветовала ей перейти на рациональное питание, состоящее исключительно из двух новомодных продуктов Р и Q. Дневное питание этими новинками должно давать не более 14 единиц жира (чтобы похудеть), но и не менее 300 калорий (чтобы не сойти с дистанции раньше). На банке с продуктом Р написано, что в одном килограмме этого продукта содержится 15 единиц жира и 150 калорий, а на банке с продуктом Q – 4 единицы жира и 200 калорий соответственно. При этом цена 1 кг продукта Р равна 150 рублям, а 1 кг продукта Q – 250 рублям. Так как дама просто приятная в это время была весьма стеснена в средствах, то ее интересовал ответ на следующий вопрос: «В какой пропорции нужно брать эти удивительные продукты Р и Q для того, чтобы выдержать условия диеты и истратить как можно меньше денег?»
2.C вокзала ежедневно можно отправлять скорые и курьерские поезда. Вместимость вагонов и наличный парк вагонов на станции указаны в таблице:
| Тип вагонов | Багажные | Почтовые | Жесткие | Купейные | Мягкие | Вид поезда |
| Число вагонов в поезде | курьерский | |||||
| скорый | ||||||
| Вместимость вагонов | - | - | ||||
| Наличный парк |
Требуется выбрать такое соотношение между числом курьерских и скорых поездов, чтобы число пассажиров, которых можно отправлять ежедневно достигло максимума.
3.Фабрика производит два вида красок: первый – для наружных, а второй – для внутренних работ. Для производства красок используются два ингредиента: А и В. Максимально возможные суточные запасы этих ингредиентов составляют 6 и 8 т соответственно. Известны расходы А и В на 1 т соответствующих красок (табл. 1.1). Изучение рынка сбыта показало, что суточный спрос на краску 2-го вида никогда не превышает спроса на краску 1- го вида более, чем на 1 т. Кроме того, установлено, что спрос на краску 2-го вида никогда не превышает 2 т в сутки. Оптовые цены одной тонны красок равны: 3 тыс. руб. для краски 1-го вида; 2 тыс. руб. для краски 2-го вида.
Необходимо построить математическую модель, позволяющую установить, какое количество краски каждого вида надо производить, чтобы доход от реализации продукции был максимальным.
Параметры задачи о производстве красок
| Ингредиенты | Расход ингредиентов, т ингр/т краски | Запас, т ингр./сутки | |
| Краска 1 вид | Краска 2 вид | ||
| А | |||
| В |
4.Для изготовления двух видов продукции используется три вида сырья. При производстве единицы продукции первого вида затрачивается 13 кг сырья первого вида, 4 кг сырья второго вида и 3 кг третьего вида. При производстве единицы продукции второго вида затрачивается 2 кг сырья первого вида, 4 кг сырья второго вида и 14 кг третьего вида. Запасы сырья первого вида составляют 260 кг, второго – 124 кг, третьего – 280 кг. Прибыль от реализации единицы продукции первого вида составляет 12 руб., а прибыль от реализации единицы продукции второго вида составляет 10 руб. построить экономико-математическую модель задачи, максимизирующую прибыль от реализации продукции. Решить задачу геометрически и симплекс-методом. Построить двойственную задачу и найти ее решение на основе теорем двойственности. Провести экономический анализ полученных результатов.
5.Компания производит полки для ванных комнат двух размеров - А и В. Агенты по продаже считают, что в неделю на рынке может быть реализовано до 550 полок. Для каждой полки типа А требуется 2 м2 материала, а для полки типа В - 3 м2 материала. Компания может получить до 1200 м2 материала в неделю. Для изготовления одной полки типа А требуется 12 мин машинного времени, а для изготовления одной полки типа В - 30 мин; машину можно использовать 160 час в неделю. Если прибыль от продажи полок типа А составляет 3 денежных единицы, а от полок типа В - 4 ден. ед., то сколько полок каждого типа следует выпускать в неделю?
6.Предприятие производит 3 вида продукции: А1, А2, А3, используя сырьё двух типов. Известны затраты сырья каждого типа на единицу продукции, запасы сырья на планируемый период, а также прибыль от единицы продукции каждого вида.
| Сырьё | Затраты сырья на единицу продукции | Запас сырья | ||
| А1 | А2 | А3 | ||
| I | 3,5 | 4,2 | ||
| II | ||||
| Прибыль от ед. прод. |
- Сколько изделий каждого вида необходимо произвести, чтобы получить максимум прибыли?
- Определить статус каждого вида сырья и его удельную ценность.
- Определить максимальный интервал изменения запасов каждого вида сырья, в пределах которого структура оптимального плана, т.е. номенклатура выпуска, не изменится.
- Определить количество выпускаемой продукции и прибыль от выпуска при увеличении запаса одного из дефицитных видов сырья до максимально возможной (в пределах данной номенклатуры выпуска) величины.
- Определить интервалы изменения прибыли от единицы продукции каждого вида, при которых полученный оптимальный план не изменится.
7.Предприятие планирует выпускать 3 вида продукции Пj (i= 1, 2,3). При её изготовлении используются ресурсы Р1, Р2, и Р3. прямые затраты ресурсов ограничены соответственно величинами b1, b2, и b3. Расход i-го ресурса (j= 1, 2, 3) на единицу продукции j-го вида составляет aij ед. Цена единицы продукции i-го вида равна Сi денежных единиц.
| b1=53, | b2=73, | b3=63, |
| a11=3, | a12=4, | a13=9, |
| a21=2, | a22=3, | A23=8, |
| a31=6, | a32=5, | a33=1, |
| C1=20, | C2=24, | C3=13, |
| k=3, | Dbk=2, | Ck=17. |
Требуется:
1) Составить математическую модель прямой и двойственной задачи. Раскрыть экономический смысл всех переменных, принятых в задаче;
2) Симплексным методом рассчитать план выпуска продукции по видам с учетом имеющихся ограничении ресурсов, который обеспечивал бы предприятию максимальный доход;
3) Используя решение исходной задачи и соответствия между прямыми и двойственными переменными, найти параметры оптимального плана двойственной задачи;
4) Указать наиболее дефицитный и недефицитный (избыточный) ресурс, если он имеется;
5) С помощью двойственных оценокyj обосновать эффективность оптимального плана, сопоставить оценку израсходованных ресурсов и максимальный доход. Zmaxот реализации готовой продукции по всему оптимальному плану и по каждому виду продукции отдельно;
6) Оценить целесообразность приобретения Dbk единиц ресурса K по ценеCk.
Рекомендуемая литература:
Основная:
1. Красс, М. С. Математика для экономистов : учебник / М. С. Красс, Б. П. Чупрынов – СПб. : Питер, 2004. – С. 259-285.
2. Краткий курс высшей математики: Учебник / Под общ. ред. д. э. н., проф. К. В. Балдина. – М.: Издательско-торговая корпорация «Дашков и К°», 2010. С. 431-478.
3. Солодовников, А. С. Математика в экономике : учебник : в 2 частях / А. С. Солодовников, В. А. Бабайцев, А. В. Браилов, И. Г. Шандра. – 2-е изд., перераб. и доп. – М. : Финансы и статистика, 2007. – Ч. 1. – C. 127-215.
Дополнительная:
1. Бережная, Е. В. Математические методы моделирования экономических систем: учеб. пособие / Е. В. Бережная, В. И. Бережной. – М. Финансы и статистика , 2001. – C. 188-253.
2. Данко, П. Е. Высшая математика в упражнениях и задачах учебное издание : в 2 ч. / П. Е. Данко, А. Г. Попов, Т. Я. Кожевников. – М. : Оникс 21 век, 2005. Ч. 1. – C. 271-293.
3. Исследование операций в экономике : учеб. пособ. / под ред. Н. Ш. Кремера. – М. : ЮНИТИ, 2000. – C. 44-123.
4. Конюховский, П. В.Математические методы исследований операций в экономике. Краткий курс / под ред. И. А. Конюховского. – СПб. : Питер, 2000. – C. 17-81.