Логические операции

Истинностные значения новых высказываний определяются при этом только истинностными значениями входящих в них высказываний. Построение из данных высказываний (или из данного высказывания) нового высказывания называется логической операцией. Знаки логических операций называются логическими связками. Логические связки бывают одноместными (унарными), двухместными (бинарные), трехместными (тернарными) и т.д.

Пример 10.

• Из высказываний «х > 2», «х < 3» при помощи связки «и» можно получить высказывание «x > 2 и х < 3»;
• из высказываний «у > 10», «х < 3» при помощи связки «или» можно получить высказывание «у > 10 или х < 3»;
• из высказываний «х > 2», «у < 3» при помощи связки «если..., то...» можно получить высказывание «если x > 2, то у < 3».

Истинность или ложность получаемых таким образом высказываний зависит от истинности и ложности исходных высказываний и соответствующей трактовки связок как операций над высказываниями.

В алгебре логики логические операции чаще всего описываются при помощи таблиц истинности. В таблице 1 представлена таблица истинности для операции «отрицание» («инверсия»).

 

Таблица истинности для операции «отрицания»

Таблица 1

А	не А

 

В таблице 2 приведены основные бинарные логические операции и связки.

Основные бинарные логические операции и связки

Таблица 2

Обозначение логической операции	Другие обозначения логической операции	Название логической операции и связки	Примечание (читается)
А1 Ù А2	А1 & А2 А1 × А2 А1А2	конъюнкция, логическое умножение, логическое «и»	А1 и А2
А1 Ú А2	А1 + А2	дизъюнкция, логическое сложение, логическое «или»	А1 или А2
А1 ® А2	А1 Ê А2 А1 Þ А2	импликация, логическое следование	если А1, то А2; А1 имплицирует А2; А1 влечет А2
А1 Å А2	А1 + А2 А1 Ú А2 А1 D А2	сумма по модулю 2, разделительная дизъюнкция, разделительное «или»	А1 плюс А2; либо А1, либо А2
А1 ~ А2	А1 º А2 А1 « А2 А1 Û А2	эквиваленция, эквивалентность, равнозначность, тождественность	А1 тогда и только тогда, когда А2; А1 эквивалентно А2
А1 ½ А2		штрих Шеффера, антиконъюнкция	неверно, что А1 и А2; А1 штрих Шеффера А2
А1 ¯ А2	А1 °А2 А1 А2	стрелка Пирса, антидизъюнкция, функция Вебба, функция Даггера	ни А1, ни А2; А1 стрелка Пирса А2

 

Примечание: А₁ и А₂ являются высказываниями.

Связки и частица «не» рассматриваются в алгебре логики как операции над величинами, принимающими значения 0 (ложь/false) и 1 (истина/true), и результатом применения этих операций также являются числа 0 или 1. В таблице 3 представлены все наборы значений переменных А₁ и А₂ и значения функций на этих наборах.

Таблица истинности для основных бинарных логических операций

Таблица 3

А1	А2	Ù	Ú	®	Å	~	½	¯