Примеры решения задач

Задача 1. В дно водоема глубиной 3 м вертикально вбита свая, скрытая под водой. Высота сваи 2 м. Свая отбрасывает на дно водоема тень длиной 0,75 м. Определите угол падения солнечных лучей на поверхность воды. Показатель преломления воды n = 1,33.

Дано: h = 2 м; H = 3 м; L = 0,75 м; n = 1,33.

Решение: Рис. 18 Согласно рисунку, высота сваи h связана с длиной тени L и углом между сваей и скользящим по ее вершине лучом света соотношением: Угол является и углом преломления солнечных лучей на поверхности воды. Согласно закону преломления Следовательно, . Ответ: .

Задача 2. Предмет находится на расстоянии 10 см от переднего фокуса собирающей линзы, а экран, на котором получается четкое изображение предмета, расположен за задним фокусом линзы на расстоянии 40 см от него. Найти оптическую силу линзы и увеличение предмета.

Дано: = 10 см = 0,1 м; = 40 см = 0,4 м. Д - ? Г - ?	Решение: Запишем формулу тонкой собирающей линзы , (1) где d = F + a – расстояние от предмета до линзы,
f = F + b– расстояние от изображения до линзы. . (2) Решая уравнение (2), найдем F: ; F2 + Fb + F2 + Fa = F2 + Fb + Fa + ab, отсюда .
Тогда . Линейное увеличение линзы . . . Ответ:Д = 5 дп, Г= 2.

Задача 3. Два когерентных источника S₁ и S₂ испускают свет с длиной волны 500 нм. На каком расстоянии от точки О на экране располагается первый максимум освещенности, если расстояние между источниками 0,5 мм, а расстояние от каждого источника до экрана 2 м.

Дано: = 500 нм = 5.10-7 м; k = 1; d = 0,5 мм = 5.10-4 м; L = 2 м. k=1 х - ?

Решение: S2 d S1 d/2 C   d/2 r2 r1 L       M k=1 k=0 x экран Рис. 19

Для решения задачи «свяжем» отрезки х, d и L с ходом лучей r1 и r2 до экрана. Пути лучей r1 и r2 определим с помощью теоремы Пифагора как гипотенузы в прямоугольных треугольниках S1MC и S2MC: ; (1) . (2) Вычитая почленно из (2) (1), получим или . Интерференционная картина будет четкой, если расстояние S1S2 = d между источниками невелико по сравнению с расстоянием их до экрана МС = L, т.е. когда . В этом случае и или , откуда . Согласно условию максимума освещенности при интерференции . С учетом этого . . Ответ: х = 2.10-3 м.

Задача 4. На дифракционную решетку длиной l с количеством штрихов N падает нормально свет с длинами волн ₁ и ₂. Определить расстояние между дифракционными максимумами второго порядка, соответствующими этим волнам. Расстояние между решеткой и экраном L, углы дифракции малы.

Дано: l; N; 1; 2; L. x - ?	Решение:   1 L 2   К=0 К=1 К=2 х1 x х2 Рис. 20
x = x2 – x1 Запишем условие максимума для дифракционной решетки ; (1) ; (2) - период решетки. Из рисунка найдем х1 = Ltg 1; (3) x2 = Ltg 2, т.к. углы малы tg = sin . Из (1) и (2) выразим и , тогда , а ; . Ответ: .

Задача 5. Определить показатель преломления среды, в которой свет с энергией кванта Е имеет длину волны .

Дано: , Е. n - ?	Решение: Показатель преломления среды , (1)
где с = 3.108 м/с – скорость распространения света в вакууме; v – скорость распространения света в среде. Энергия кванта в среде , (2) где h = 6,63.10-3 Дж.с – постоянная Планка. Выражая из (2) скорость v и подставляя в (1), получим . Ответ: .

Задача 6. Красная граница фотоэффекта для некоторого металла равна 0,5 мкм. При какой частоте света оторвавшиеся с его поверхности электроны полностью задерживаются обратным потенциалом в 3,0 В?

 

Дано: = 5,0.10-7 м; U3 = 3,0 В; е = 1,6.10-19 Кл;   - ?

Решение: Основным расчетным соотношением для решения задачи служит выражение закона сохранения энергии. Чтобы задержать вылетевший электрон, необходимо приложить задерживающее электрическое поле, причем вылет электронов прекратится тогда, когда потенциальная энергия элек-

трона в задерживающем поле, равная е.UЗ, станет равной его кинетической энергии . Поэтому = е.UЗ. (1) Кинетическая энергия входит в уравнение Эйнштейна для фотоэффекта; подставляя в него выражение (1), получим . (2) Величина работы выхода определяется через частоту, отвечающую красной границе фотоэффекта, которая связана с соответствующей длиной волны . (3) Подставляя выражение (3) в (2), получаем . Ответ: v = 1,3.1015 Гц.   Задача 7. Пучок частично-поляризованного света рассматривается через поляроид. Первоначально поляроид установлен так, что его плоскость пропускания параллельна плоскости колебаний линейно-поляризованного света. При повороте поляроида на угол φ=600 интенсивность пропускаемого им света уменьшилась в k=2 раза. Определить отношение Iе/Iп интенсивностей естественного и линейно-поляризованного света, составляющих данный частично-поляризованный свет, а также степень поляризации Р пучка света. Дано: φ=600 k=2   Iе/Iп, Р - ? Решение: Отношение интенсивности Iе естественного света к интенсивности Iп поляризованного света найдем из следующих соображений. При первоначальном положении поляроида он полностью пропустит линейно-поляризованный свет и половину интенсивности естественного света. Общая интенсивность пропущенного при этом света . (1) При втором положении поляроида интенсивность пропущенного поляризованного света определяется по закону Малюса, а интенсивность пропущенного естественного света, как и в первом случае, будет равна половине интенсивности естественного света, падающего на поляроид. Общая интенсивность во втором случае . (2) В соответствии с условиями задачи , или . (3) Подставив сюда значения угла φ, k и произведя вычисления, получим , или , т.е. интенсивности естественного и поляризованного света в заданном пучке равны между собой. Степень поляризации частично-поляризованного света определяется соотношением , (4) где и - соответственно максимальная и минимальная интенсивности света, пропущенного через поляроид. Максимальная интенсивность , или учитывая, что , . (5) Минимальная интенсивность соответствует положению поляроида, при котором плоскость пропускания его перпендикулярна плоскости колебаний линейно-поляризованного света. При таком положении поляроида поляризованный свет будет полностью погашен и через николь пройдет только половина интенсивности естественного света. Общая интенсивность выразится равенством . (6) Подставив найденные выражения и в формулу (4), получим . Следовательно, степень поляризации пучка света . Ответ: ,

Задача 7. Определить период полураспада радиоактивного вещества, если за 15 с из имеющихся в наличии 16^.10¹⁰ ядер распалось 14^.10¹⁰ ядер.

 

Дано: N0 = 16.1010; N = 14.1010; t = 15 c.   T - ?	Решение: Запишем закон радиоактивного распада , где N = N0 - N – число нераспавшихся ядер. N0 - N = .
Откуда . Получаем с. Ответ: Т = 5 с.

Задача 8. Определить энергию фотона, излучаемого атомом водорода при переходе электрона с третьего энергетического уровня на первый, а также длину электромагнитной волны, соответствующую этому фотону.

 

Дано: n = 1; k = 3; R = 1,1.107 м-1. - ? - ?

Решение: Переход электрона в атоме водорода с отдаленной орбиты на внутреннюю связан с излучением фотона (кванта энергии): , (1)

где - энергия фотона, h=6,63.10-34Дж.с – постоянная Планка, с – скорость света в вакууме, v – частота, – длина волны, соответствующая фотону с энергией . Длина волны излучаемого света связана с номером орбит соотношением , (2) где R – постоянная Ридберга, n – номер энергетического уровня, на который переходит электрон, k – номер энергетического уровня, с которого уходит электрон. Подставляем в (2) числовые значения и вычисляем длину волны . м-1 = 9,77.106 м-1. м = 1,02.10-7 м = 102 нм. В выражение (1) подставляем числовые значения и вычисляем энергию фотона. Дж = 1,95.10-18 Дж. Ответ: = 1,95.10-18 Дж, = 102 нм.

Задача 9.Вычислить энергию ядерной реакции ₈O¹⁶ + ₁H² ₇N¹⁴ + ₂He⁴. Выделяется или поглощается эта энергия?