Центр тяжести кругового сектора.

Рассмотрим круговой сектор ОАВ радиуса R с центральным углом 2a (рис.8.7.).

Для определения положения центра тяжести кругового сектора разобьем его на элементарные сектора. Каждый элементарный сектор можно рассматривать как равнобедренный треугольник с высотой равной R. Эта высота является также и медианой. Следовательно, центр тяжести каждого треугольника лежит на расстоянии R от начала координат О.

 

 
 

 

 


Рис.8.7.

 

Следовательно, центр тяжести сектора совпадает с центром тяжести дуги DE. Тогда окончательно получим, что центр тяжести кругового сектора лежит на оси симметрии на расстоянии от центра

xC= R .

В частном случае для полукруга имеем a= .

Тогда

xC= R× .

 
 

 


Вопросы для самопроверки

1.Что называется центром параллельных сил?

2.Запишите формулы для координат центра параллельных сил.

3.Что называется центром тяжести тела?

4.Выведите формулы координат центра тяжести однородных тел: объемного, плоского, линейного.

5.Какие вы знаете способы определения центра тяжести?

6.Назовите тела, у которых вы знаете положение центра тяжести

7.В чем заключается способ разбиения?

8.Для каких тел применяется способ интегрирования?

9.Запишите интегральные формулы для определения координат центра тяжести.

10.Где находится центр тяжести треугольника?

11.Выведите формулу центра тяжести однородной дуги окружности.

12.Выведите формулу центра тяжести однородного кругового сектора.

 

ЗАДАЧИ

1.Определить координаты центра тяжести указанной на рис.8.8. плоской фигуры.

Решение: Применяем метод разбиения, согласно которому данную фигуру разбиваем на 2 части:

1)прямоугольник, 2)полукруг.

 
 

 

 


Рис.8.8.

 

Исходя из размеров фигуры, определяем площади прямоугольника и полукруга и координаты их центров тяжести С1 и С2.

S1=a×a=a2, x1= , y1=

S2= =1,57a2, x2= , y2=a+ =1,42a.

Подставим эти данные в формулы (8.5) и определим искомые координаты центра тяжести:

 

xC=

yC= =1,06a.

 

2)Определить координаты центра тяжести системы грузов, расположенных в вершинах прямоугольного параллелепипеда, ребра которого соответственно равны AB= 20 см, AC=10 см, AD = 5 см. Веса грузов в вершинах A,B,C,D,E,F,G,H соответственно равны P1=1 н, P2=2 н, P3=3 н, P4=4 н, P5=5 н, P6=3 н, P7=4 н, P8=3 н.

Решение. Для решения задачи воспользуемся формулами (8.3). Для этого предварительно определим координаты точек приложения весов всех грузов.

 
 

 


Рис.8.9.

 

 

A: x1=0, y1=0, z1=0

B: x2=0, y2=20см, z2=0

C: x3=0, y3=0, z3=10 cм

D: x4=0, y4=0, z4=0

E: x5=5 cм, y5=0, z5=10 cм

F: x6=0, y6=20 cм, z6=10 cм

G: x7=5 cм, y7=20 cм, z7=10 cм

H: x8=5 cм, y8=20 cм, z8=0.

 

Тогда

 

XC= =3,2 см

YC= =9,6 см

ZC= =6 cм.

 

3) Определить положение центра тяжести плоской однородной пластины ABCDEFG, размеры которой указаны на рис.8.10.

Решение:

Разобьем пластину на 2 прямоугольника ABCD и OHFG и на треугольник DHE, площадь которого считаем отрицательной.

Выберем оси координат, как показано на чертеже.

 
 

 

 


Рис.8.10.

 

Определяем площади составных частей и координаты их центров тяжестей С1, С2, С3.

S1=10×4=40 см2; x1=-5 см; y1=2 см.

S2=24×12=288 см2; x2=6 см; y2=12 см.

S3=- ×6×9=-27 см2; x3= ×9=3 см; y3=24- ×6=22 см.

 

Подставим найденные значения в формулы 8.5 и произведем вычисления:

ХС= =4,8 см

УС= =28 см.