Гармонический анализ периодических сигналов

При разложении периодического сигнала s(t) в ряд Фурье в качестве ортогональной системы берут гармонические функции вида (3.22):

1, cos w₁t,sinw₁t, cos2w₁t, sin2w₁t,...

..., cos nw₁t, sin nw₁t,...(3.22)

или: ... , , 1 , , ... (3.23)

Интервал ортогональности в обоих случаях совпадает с периодом T = 2p/w₁ функции s(t).

Система функций (3.22) приводит к тригонометрической форме ряда Фурье, а система (3.23) - к комплексной форме. Между этими формами существует простая связь.

Воспользуемся системой комплексных гармоник (3.23), тогда ряд Фурье будет иметь вид:

(3.24)

Совокупность коэффициентов C_n ряда Фурье в базисе тригонометрических функций называется частотным спектром периодического сигнала, а целью гармонического анализа как раз является нахождение коэффициентов ряда Фурье.

Коэффициенты ряда (3.24) легко определяются с помощью ранее встречавшихся формул - из формулы (3.15) следует, что квадрат нормы равен:

(3.25)

Таким образом, независимо от n, норма базисной функции .

Используя формулу для коэффициентов ряда Фурье (3.16) получим:

(3.26)

В (3.25) и (3.26) учтено, что для e^jnw1t комплексно-сопряженной является функция e^-jnw1t.

Коэффициенты C_n в общем случае являются комплексными величинами. Воспользуемся формулой Эйлера e^±jx = cos x ± j sin x,

, получим:

(3.27)

Отсюда косинусная - действительная часть коэффициента C_n:

(3.28)

а мнимая - синусная часть:

(3.29)

Коэффициенты С_n часто бывает удобно записывать в форме:

,

где (3.30)

(3.31)

Модуль C_n является четной функцией относительно n, а аргумент Y_n - нечетной (это следует из (3.28) и (3.29)). Используя модуль и аргумент, ряд (3.24) может быть записан:

(3.32)

Отсюда нетрудно перейти к тригонометрической форме ряда Фурье. Выделив из ряда (3.32) пару слагаемых, соответствующих ±n (например, n=2) и учитывая что Y_-2=-Y₂,
а ½C_-2½=½C₂½, получим для суммы:

(3.33)

Окончательно ряд (3.32) в тригонометрической форме записывается:

(3.34)

Смысл удвоения коэффициентов Фурье C_n в тригонометрическом ряде при n³1 становится ясным, если представить себе сумму двух векторов равной длины и с противоположными аргументами (векто­ры вращаются с одинаковой скоростью nw₁, но в разные стороны для положительных и отрицательных частот), и вычислить проекцию этой суммы на ось абсцисс.

После перехода к тригонометрической форме понятие "отрицательных частот" теряет смысл.

Нередко встречается другая форма записи:

(3.35)

где

Сравнивая (3.35) и (3.34) между собой, можно увидеть, что амплитуда n-й гармони­ки A_n связана с коэффициентом ½C_n ½ ряда (3.32):

A_n = 2½C_n ½; a_n= 2C_{n cos} ; b_n = 2C_{n sin}

Таким образом, для всех положительных n, включая и n=0:

(3.36)

Если сигнал представляет собой четную относительно t функцию, т.е. s(t)= s(-t), то в тригонометрической записи ряда остаются только косинусоидальные члены, так как
коэффициенты b_n в соответствии с (3.36) обращаются в нуль.

Для нечетной относительно t функции s(t), наоборот, в нуль обращаются коэффициенты a_n и ряд состоит только из синусоидальных членов. Другими словами, четные функции имеют вещественный спектр, а нечетные - чисто мнимый.

Две характеристики - амплитудная и фазовая, то есть модули и аргументы комплексных коэффициентов ряда Фурье, полностью определяют структуру частот­ного спектра периодического колебания.

Спектр периодической функции называют линейчатым или дискретным, так как состоит из отдельных линий, соответствующих дискретным частотам 0, w₁, 2w₁, 3w₁ ... и так далее.