Вероятность появления хотя бы одного события.

 

Пусть события А₁А₂,...,А_n независимы в совокупности, причем Р(А₁)=Р₁, Р(А₂)=Р₂,...,Р(А_n) = P_n и в результатеиспытания могут наступить все события, либо часть из них, либо одно из них.

 

Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из событий А₁А₂,...,А_n,, независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий А₁А₂,...,А_n

(1)

где .

В частности, если все события имеют одинаковую вероятность, равную Р, то вероятность появления хотя бы одного из событий равна

Р(А) = 1 – qⁿ ,

так как q₁ = q₂= ... = q_n = q.

Применим эту теорему для решения задачи из предыдущей лекции.

Задача 1.Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания для первого стрелка равна 0,8; для второго 0,9.Найти вероятность поражения цели, т.е. вероятность того, что хотя бы один из стрелков попадет в цель.

Решение: Событие А - попадание первого стрелка в мишень; событие В- попадание второго стрелка в мишень. События А и В совместны и независимы.

По условию Р(А)=0,8; Р(В)=0,9. Находим вероятность события А+В. Воспользуемся формулой (1):

Задача 2. Вероятность хотя бы одного попадания в мишень стрелком при трех выстрелах равна 0,875.

Найти вероятность попадания при одном выстреле.

Решение: Вероятность хотя бы одного попадания в мишень при трех выстрелах равна:

Р(А) =1-q³, где q - вероятность промаха.

Р(А)=0,875 - по условию, следовательно 0,875 =1-q³

q³ = 1- 0,875 = 0,125 ; q = 0,5 ; р + q = 1; р = 0,5.