Основные понятия и определения.

Определение. Переменная величина Z называется функцией двух переменных величин х и у,если каждой паре значенийх и у соответствует единственное значение z.

Функция двух переменных обозначается таким образом: Z = f ( х, у ).

Систему значений х и у называют точкой М(х,у), а функцию двух переменных – функцией точки: Z = f ( М ).

Геометрическим изображением функции двух переменных является некоторая поверхность в пространстве. Значение функции Z = f ( х, у ) при х =а, у = в обозначается f ( а, в ).

 

 

 

 

Определение. Переменная величина U называется функцией трех переменных х, у, z, если каждой тройке значений х, у и z соответствует единственное значение U.

Обозначение: U = f (х, у, z).

Аналогично для n переменных: U = f (х, у, z,…….., t).

Замечание: Для обозначения независимых переменных и функций могут быть использованы различные символы.

Например, функцию двух переменных можно записать в виде

у = f (х₁, х₂), а функцию n переменных – в виде: у = f (х₁, х_{2, ……..,} х_n ).

Определение: Функция n независимых переменных, устанавливающая зависимость между затратами n производственных ресурсов и объемом выпускаемой продукции, называется n- факторной производственной функцией(функцией выпуска): у = F(х₁, х_{2, ……..,} х_n ).

При моделировании экономики страны рассматривают следующую макроэкономическую двухфакторную производственную функцию: Y = F ( K , L ), где L – затраты труда, K – объем производственных фондов.

Определение. Совокупность всех точек, в которых определена функция нескольких переменных, называется областью определения функции.

Для функции двух переменных областью определения является некоторая часть координатной плоскости, ограниченная одной или несколькими линиями, для функции трех переменных – часть пространства.

Определение. Линией уровняфункции z = f (х, у) называется линия на плоскости ОХУ, в точках которой функция сохраняет постоянное значение.

Определение. Линии уровня производственных функций называются линиями постоянного выпуска или изоквантами.

Изокванты используются в задачах экономической теории.

 

 

 

6. Частные производные и полный дифференциал.

Частной производной функции нескольких переменных по одной из этих переменных называется предел отношения соответствующего частного приращения функции к приращению данной переменной, когда последнее приращение стремится к нулю.

, - частная производная по х.

- частная производная по y.