Предел числовой последовательности.
Числовой последовательностью называется отображение 
.
При этом 
а вместо 
принимают обозначение 
или просто 
Пусть дана числовая последовательность 
Будем говорить, что последовательность сходится к числу 
при 
стремящемся к 
если
.
Если 
сходится к , то говорят, также, что последовательность имеет предел при 
обозначают
Теорема. (Об единственности предела).Всякая сходящаяся последовательность имеет единственный предел.
Ограниченные последовательности.
Последовательность называется ограниченной сверху,
если 
число 
Последовательность называется ограниченной снизу,
если число 
Последовательность называется ограниченной, если она ограничена сверху и снизу.
Теорема. Всякая сходящаяся последовательность ограничена.
Арифметические действия над сходящимися последовательностями.
Пусть даны последовательности и 
Последовательность 
называется суммой последовательностей и Обозначается 
Последовательность 
называется произведением последовательностей и Обозначается 
Пусть 
Последовательность 
называется частным последовательностей и Обозначается 
Теорема.Пусть 
и 
Тогда
a) 
b) 
c) Если 
и 
то 
Монотонные последовательности
Последовательность является неубывающей 
(возрастающей), если 
для 
Последовательность является невозрастающей 
(убывающей), если 
для 
Последовательность называется монотонной, если она является одной из выше перечисленной.
Обозначим 
.
Теорема.a) Всякая возрастающая последовательность имеет конечный предел, равный точно верхней грани последовательности, т.е. справедливо:
b) Всякая убывающая последовательность имеет конечный предел, равный точно нижней грани последовательности, т.е. справедливо:
Следствие.Для того, чтобы монотонная последовательность сходилась необходимо и достаточно, чтобы она была ограничена.
или 
сходится 
ограничено.
Поскольку члены последовательности положительны, существует предел 
. Но тогда
.
Итак, 
4. Предел функции.
Определение. Будем говорить, что f имеет в точке 
предел
, если
.
При этом примем обозначения
Смысл определения предела функции 
в точке состоит в том, что для всех значений 
, достаточно близких к , значения функции как угодно мало отличаются от числа А (по абсолютной величине).
Рассмотрим геометрический смысл предела функции в точке. Неравенство
равносильно двойному неравенству
соответствующему расположению части графика в полосе шириной 
(см.
рис. 1). Аналогично неравенство 
равносильно
двойному неравенству
, соответствующему попаданию точек х в 
-окрестность точки х0.
Число А есть предел функции при 
, если для любого 
найдется такая -окрестность точки х0, что для всех 
из этой окрестности соответствующие ординаты графика функции будут заключены в полосе 
, какой бы узкой эта Рис.1 полоса ни была.