ЛЕКЦИЯ 4. ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ

Цель:Ввести общее понятие уравнение прямой линии. Изучить понятие угла наклона прямой, углового коэффициента прямой. Дать различные виды уравнения прямой, уметь по условию задачи выбрать наиболее подходящее уравнение для рационального решения задачи. Рассмотреть угол между двумя прямыми и условия параллельности и перпендикулярности двух прямых.

Ключевые слова:уравнение линии, общее уравнение прямой, уравнение прямой с угловым коэффициентом, уравнение пучка прямых, уравнение прямой, проходящей через две данные точки, уравнение в отрезках, угол между прямыми.

План лекции

1. Уравнение прямой линии на плоскости.

2. Различные уравнения прямой на плоскости.

3. Угол между двумя прямыми.

4. Условия параллельности и перпендикулярности прямых.

5. Расстояние от точки до данной прямой.

1. Уравнение прямой линии на плоскости.

Аналитической геометрией называется раздел математики, в котором геометрические задачи решаются алгебраическим путем. Основой аналитической геометрии является метод координат, впервые использованный Декартом. Сущность его в том, что положение точки рассматривается относительно некоторых линий, образующих систему координат на плоскости или в пространстве.

Уравнением линии на плоскости ХОУ называется уравнение, которому удовлетворяют координаты х и у каждой точки этой линии и не удовлетворяют координаты любой точки не лежащей на этой линии. Если точка М (х; у) передвигается по линии L, то ее координаты х и у, изменяясь, все время удовлетворяют уравнению этой линии. Поэтому координаты точки М называются текущими координатами точки данной линии.

2. Различные уравнения прямой на плоскости

Рис.1

Пусть прямая пересекает ось Оу в точке В (0,b) и образует с осью Ох угол (0< ) (см. рис. 1). Возьмем на прямой произвольную точку М (x,y). Тогда тангенс угла наклона прямой найдем из прямоугольного треугольникаMBN.

(1)

Введем угловой коэффициент прямой: , получим

и (2),

называемой уравнение прямой с угловым коэффициентом.

Рассмотрим частные случаи формулы (2)

a) b) c)

Рис.2

1. Если , то получаем - уравнение прямой, проходящей через начало координат и образующей при : острый угол с осью Ох, а при : - тупой угол (см. рис. 2 (a)). В частности, уравнение биссектрисы I и III координатных углов имеет вид (так как =1), а уравнение биссектрисы II и IV координатных углов ( ).

2. Если , то : , и уравнение прямой, параллельной оси Ох, имеет вид , а самой оси Ох — вид (см. рис.2(b)).

3. Если , то прямая перпендикулярна оси их (см. рис.2 (с)) и не существует, т.е. вертикальная прямая не имеет углового коэффициента. Предположим, что эта прямая отсекает на оси Ох отрезок, равный а. Очевидно, что уравнение такой прямой (так как абсцисса любой точки прямой равна a), а уравнение оси Оу есть .

Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении.

Рис.3

Пусть прямая проходит через точку ) и образует с осью Ох угол (рис.3). Так как точка ) лежит на прямой, то ее координаты удовлетворяют уравнению (2), т.е.

(3)

Вычитая равенство (3) из равенства (2), получим уравнение искомой прямой

(4)

Уравнение пучка прямых.

Рис.4

Если в уравнении (4) - произвольное число, то это уравнение определяет пучок прямых, проходящих через точку ), кроме прямой, параллельной оси
Оу и не имеющей углового коэффициента (рис. 4).

Уравнение прямой, проходящей через две данные точки.

Рис. 5

Пусть даны две точки ), и , .

Для составления уравнения прямой (Рис. 5) запишем уравнение пучка прямых, проходящих через точку :

Так как точка лежит на данной прямой, то чтобы выделить ее из пучка, подставим координаты точки в уравнение пучка

и найдем угловой коэффициент прямой

(5)

Теперь уравнение искомой прямой примет вид

или (6)

Уравнение прямой в отрезках

Рис.6

Найдем уравнение прямой по заданным отрезкам и , отсекаемым на осях координат. Используя (6), уравнение прямой, проходящей через точки и (рис. 6), примет вид

или после преобразований . (7)

Уравнение (7) называется уравнением прямой в отрезках.

Общее уравнение прямой.

Рассмотрим уравнение первой степени с двумя переменными в обшем виде

, (8)

в котором коэффициенты А и В не равны одновременно нулю, т.е.

1. Пусть . Тогда уравнение (8) можно записать

.

Обозначим , .

Если , то получим (уравнение прямой с угловым коэффициентом); если , то (уравнение прямой, проходящей через начало координат); если , то (уравнение прямой, параллельной оси OY), если , то (уравнение оси OX).

2. Пусть . Тогда уравнение (8) примет вид

Обозначим . Если , то получим (уравнение прямой, параллельной оси OY), если , то (уравнение оси OY).

Таким образом, при любых значениях коэффициентов А, В (не равных одновременно нулю) и С уравнение (8) есть уравнение некоторой прямой линии па плоскости Оху.

Уравнение (8) называется общим уравнением прямой. Заметим, что в отличие от уравнения пучка прямых (4) общее уравнение (8) включает и уравнение любой вертикальной прямой, параллельной оси Оу.