ВЫЧИСЛЕНИЕ ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА

 

Существуют два основных вида области интегрирования:

1.Область интегрирования Д ограничена слева и справа прямыми х = а,

х = в (а < в), а снизу и сверху - непрерывными кривыми у = j₁(х) и у =j₂(х)

(j₁(х) £ j₂(х)), каждая из которых пересекается прямой, параллельной оси Оу, только в одной точке (рис. 1).

 

 

	У
				у = j(х)

 

 

				у = j1(х)
			Х

 

 

Рис. 1

 

		Х

 

 

Рис. 2

 

Вычисление двойного интеграла сводится к двукратному интегрированию

.

Интеграл называется внутренним. В нем х считается постоянной. Этот интеграл вычисляется в первую очередь. А потом вычисляется внешний интеграл по переменной х.

Для того, чтобы поставить пределы внутреннего интеграла, надо посмотреть на изменение у вдоль вектора от точки входа вектора в область Д (нижний предел) до точки выхода вектора из области Д (верхний предел). Пределы внешнего интеграла всегда постоянны и показывают пределы изменения переменной х.

2. Пусть область интегрирования Д ограничена снизу и сверху прямыми

у = с, у = d (с < d) , а слева и справа - непрерывными кривыми х = Y₁(у), х = Y₂(у) (Y₁ (у) £ Y₁ (у)), каждая из которых пересекается горизонтальной прямой только в одной точке (рис. 2).

Тогда двойной интеграл по такой области вычисляется по формуле

,

причем сначала вычисляется внутренний интеграл, , в котором у считается постоянной.