ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ В ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТАХ

Пусть функция f(x,y) определена и непрерывна в ограниченной замкнутой области Д плоскости хОу. Разобьем область Д произвольным образом на n элементарных областей, имеющих площади S₁ , S₂ , ... , S_n и диаметры d₁,d₂, ..., d_n (диаметром называется наибольшее из расстояний между двумя точками границы этой области). Выберем в каждой элементарной области произвольную точку P_i(x_i, y_i) и составим следующую сумму:

.

Такая сумма называется интегральной суммой.

Определение:

Предел интегральной суммы при условии, что число элементарных областей n ® и наибольший диаметр max d_k ® 0, называется двойным интегралом от функции f(x, y) по области Д, если этот предел существует и не зависит :

1) ни от способа разбиения области Д на элементарные области;

2) ни от способа выбора в них точек Р_i

.

Если f(x, y) > 0 в области Д, то двойной интеграл равен объему цилиндрического тела, ограниченного сверху поверхностью z = f(x, y), сбоку - образующими параллельные оси Оz, а снизу - областью Д (лежащей на плоскости хОу).

Свойства двойного интеграла аналогичны свойствам определенного интеграла.