Полный факторный эксперимент

Эксперимент, в котором реализуются все возможные сочетания уровней факторов, называют полным факторным экспериментом (ПФЭ). При двух уровнях имеем ПФЭ типа 2К. Число опытов для данного случая будет равно

Условие эксперимента записываются в виде таблицы. Строки её соответствуют различным опытам (вектор-строка), столбцы - значениям факторов в кодированном виде (вектор -столбцы). Такие таблицы называются матрицами планирования эксперимента (МПЭ).

Составим МПЭ для двумерной модели на двух уровнях 22 (табл.4.1). Число опытов N=22=4.

Таблица 4.1

Опыт x1 x2 y
1 -1 -1 y1
2 +1 -1 y2

Продолжение таблицы 4.1

3 -1 +1 y3
4 +1 +1 y4

План эксперимента можно представить геометрически (рис.4.10). Для плана 22 каждая комбинация факторов представляет собой вершину квадрата.

Рис. 4.10. Геометрическое представление ПФЭ

В области определения факторов находят точку соответствующую основному уровню, Через эту точку проводят новые оси координат, параллельно осям натуральных значений факторов. Затем выбирают масштабы по новым осям для каждого фактора согласно выражению (4.27).

В МПЭ вводится фиктивный столбец x0 для учета свободного члена .

Коэффициенты оцениваются согласно выражений

.

4.10.1. Свойства полного факторного эксперимента 2К

К свойствам МПЭ относятся те, которые определяют качество модели, т.е. эти свойства делают оценки коэффициентов модели наилучшими. Первые два свойства вытекают из построения матрицы.

1. Симметричность относительно центра эксперимента. Алгебраическая сумма элементов столбца каждого фактора равно нулю , где j- номер фактора, N - число опытов.

2. Условие нормировки. Сумма квадратов элементов каждого столбца равна числу опытов .

3. Ортогональность матрицы. Сумма почленных произведений любых двух векторов -столбцов матрицы равна нулю , где .

Ортогональные планы делают эксперимент более эффективным.

Ортогональность плана позволяет получить оценки для коэффициентов уравнения регрессии независимые друг от друга. Иными словами ортогональность характеризует отсутствие корреляции между факторами. Однако, если имеет место нелинейность, то столбцы взаимодействий окажутся неразличимы, закоррелироваными с некоторыми столбцами линейных эффектов. Это приводит к тому, что по результатам данного эксперимента становится невозможным разделить коэффициенты регрессии между линейными и нелинейными факторами.

4. Рототабельность планов. Это такие планы, для которых дисперсия одинакова для всех точек пространства переменных x, лежащих на одинаковых расстояниях от центра.