Лекция №2 «Главные оси и главные моменты инерции

Рассмотрим, как изменяются моменты инерции при повороте координатных осей. Положим, даны моменты инерции некоторого сечения относительно осей 0х, 0у (не обязательно центральных)-, - осевые моменты инерции сечения. Требуется определить, - осевые моменты относительно осей u, v, повёрнутых относительно первой системы на угол (рис. 8)

 

 

 

Рис. 8

 

 

Так как проекция ломаной линии ОАВС равна проекции замыкающей, находим:

(15)

Исключим u и v в выражениях моментов инерции:

 

 

Тогда

 

 

 

Откуда

 

(16)

 

(17)

 

(18)

 

Рассмотрим два первых уравнения. Складывая их почленно, получим

 

Таким образом, сумма осевых моментов инерции относительно двух взаимно перпендикулярных осей не зависит от угла и при повороте осей остается постоянной. Заметим при этом, что

 

 

Где - расстояние от начала координат до элементарной площадки (см. рис.5). Таким образом

 

 

Где - уже знакомый нам полярный момент инерции:

 

Определим осевой момент инерции круга относительно диаметра.

Так как в силу симметрии но, как известно,

Следовательно, для круга

 

С изменением угла поворота осей значения моментов и меняются, но сумма остается неизменной. Следовательно существует такое значение , при котором один из моментов инерции достигает своего максимального значения, в то время как другой момент принимает минимальное значение. Дифференцируя выражение по углу и приравнивая производную к нулю, находим

 

(19)

 

При этом значении угла один из осевых моментов будет наибольшим, а другой - наименьшим. Одновременно центробежный момент инерции обращается в нуль, что можно легко проверить, приравнивая к нулю формулу для центробежного момента инерции .

Оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю, а осевые моменты принимают экстремальные значения, называются главными осями. Если они к тому же являются центральными (точка начала координат совпадает с центром тяжести сечения), то тогда они называются главными центральными осями (u; v). Осевые моменты инерции относительно главных осей называются главными моментами инерции - и

И их значение определяется по следующей формуле:

(20)

 

Знак плюс соответствует максимальному моменту инерции, знак минус - минимальному.

Существует ещё одна геометрическая характеристика – радиус инерциисечения. Эта величина часто используется в теоретических выводах и практических расчётах.

Радиусом инерции сечения относительно некоторой оси, например 0x, называется величина ,определяемая из равенства

 

(21)

 

F – площадь поперечного сечения,

- осевой момент инерции сечения,

 

Из определения следует, что радиус инерции равен расстоянию от оси 0х до той точки, в которой следует сосредоточить (условно) площадь сечения F, чтобы момент инерции одной этой точки был равен моменту инерции всего сечения. Зная момент инерции сечения и его площадь, можно найти радиус инерции относительно оси 0х :

 

(22)

Радиусы инерции, соответствующие главным осям, называются главными радиусами инерции и определяются по формулам

 

(23)