Сопряженность комплексных корней многочлена с действительными коэффициентами. Неприводимые многочлены над полем действительных чисел.

1. Разложить многочлены на неприводимые многочлены над полями Q, R и С.

a) f(x) = x⁴ + 2x³ + x² - l

б) f(x) = x⁴ - x³ - 3x² + 5x - 10

в) f(x) = х⁴ - 2x³ + 4х² + 2х – 5

г) f(x) = x³ – 6ix + 4 – 4i

д) f(х) = х³ - 12х + 16

е) f(x) = х³ + 9х² + 18х + 28

ж) f(x) = х³ - 6х² + 57х - 196

з) f(x) = x³ - 6x² + 21x - 5

и) f(x) = х⁴ + х³ - 11х² - 5х + 30

к) f(x) = 4х⁵ + 12х⁴ + х³ + 6х² + 10х - 3

л) f(x) = 3х⁵ + 17х⁴ - 36х³ + 38х² - 20х - 8

м) f(x) = 6х⁶ - х⁵ - 23х⁴ - х³ - 2х² + 20х - 1

н) f(x) = 2х⁵- 15х³ + 21х - 28

о) f(x) = 3х⁶ - 20х⁴ + 30х² - 20х + 23

2. Найти все корни многочлена:

,

зная, что число является его двукратным корнем.

3. Доказать, что любой многочлен нечетной степени имеет хотя бы один действительный корень.

 

Практическое занятие №23

Многочлены над полем рациональных чисел и кольцом целых чисел. Целые и рациональные корни многочленов с целыми коэффициентами. Неприводимые многочлены над полем рациональных чисел. Критерий неприводимости Эйзенштейна.

1. Докажите неприводимость многочленов

а) ;

б) ;

в)

в кольце Q(x).

2. Найдите все рациональные корни уравнения:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

е) .

3. Из чего следует единственность разложения на множители в кольце многочленов с рациональными коэффициентами?

4. Сформулируйте и докажите критерий Эйзенштейна.