Доказательство.

Пусть дан многочлен f(z)=a_nzⁿ + a_n-1z^n-1 +...+ a₁z + a₀, где все a_i Î R, i=0, l,...,n и z₀ Î С его корень, т.е. f(z₀) = 0.

Покажем, что также будет корнем этого многочлена. Подставим в многочлен, получим: (учитывая свойства сопряженных комплексных чисел: , , если а ÎR) =

Следствие 1. В кольце R[x] неприводимы:

a) многочлены первой степени;

б) многочлены второй степени, которые не имеют действительных корней.

Приводимы:

а) многочлены второй степени, которые имеют действительные

корни.

б) все многочлены выше второй степени.

Действительно: Пусть дан многочлен с действительными коэффициентами: f(x)=ax³ + bx² + cx + d, ст. f(x) = 3. По основной теореме алгебры он будет иметь три корня над полем С, то есть f(х) = (х - z₀)(х – z₁)(х – z₂).

Над полем R возможны такие случаи:

а) все корни - действительные числа; тогда многочлен

f(х) = (х- a₁)(х - a₂) (х - a₃) будет разложен на линейные множители над полем R;

б) один корень z ₀ - комплексный, тогда по теореме(3), тоже будет корнем многочлена, а третий корень будет действительным числом, т.е. f(x) = (x - )(x - z ₀)(x -a) над полем С.

Перемножив скобки (х - ) (х - z₀), получим разложение многочлена f(x) в произведение неприводимых многочленов 2-ой и 1-ой степени над полем R

Следствие 2. Многочлен f(x) ÎR[x] нечетной степени имеет хотя бы один действительный корень.

Задача 1. Разложить на неприводимые многочлены над полем С и R многочлен f(x) = x + 4

Решение.

1. Найдем разложение над полем С, для этого нужно найти все комплексные корни многочлена f(x), т.е. нужно решить уравнение f(x) = 0 в поле С.

х⁴ + 4 = 0

к =0,1,2,3

Разложение f(x) над полем С будет иметь вид: f(x) = (x -1- i)(x + 1 - i)(x + 1 + i)(x – l + i)

Чтобы записать разложение многочлена на неприводимые многочлены над полем R, необходимо перемножить сопряженные скобки: первую с четвёртой, вторую с третьей.

Тогда f(x) = (x² - 2x + 2)(х² + 2х + 2) над полем R, хотя действительных корней многочлен f(x) не имеет.

Если над полем С неприводимы только многочлены первой степени, над полем R многочлены первой степени и некоторые многочлены второй, то над полем рациональных чисел Q существуют неприводимые многочлены любой степени n > 1. Например, многочлен f(x) = xⁿ - 2 неприводим над Q.

Покажем, что решение вопроса о приводимости многочлена f(x) над полем Q можно свести к решению этой задачи над кольцом Z.

Действительно, "f(x)ÎQ[x] можно всегда представить в виде , где f₁(x) будет многочленом с целыми коэффициентами.

Например,

В некоторых случаях неприводимость многочленов над полем Q можно установить на основе признака Эйзенштейна.

Признак: Многочлен с целыми коэффициентами f(x)=a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 +...+ a₁x + a₀, (n > 2, a_n ¹ 0) неприводим над полем Q, если существует простое число р, удовлетворяющее условиям:

1. a_n не делится на р;

2. все остальные a_i делятся на р; (i=0, 1, 2, ...,n - 1);

3. a₀, делясь на р, не делится на р².

Замечание 1. При больших значениях коэффициентов многочлена и высокой степени многочлена этот признак применить очень сложно.

Пример 3. Пусть f(x) = x⁵ + 6x³ + 12x - 3. Используя критерий Эйзенштейна, выяснить, приводим ли многочлен над полем Q?

Можно подобрать простое число р = 3, которое удовлетворяет условиям признака.

Действительно, (1 3); (-6 / 3) & (12 / 3) & (-3 / 3), а (-3 9). Значит, f(x) неприводим над полем Q.

Замечание 2. Если многочлен f(x), cm f(x) > l, приводим над полем С, то он имеет хотя бы один комплексный корень. Для многочленов над полем R и Q условие наличия действительного и рационального корня не является необходимым для того, чтобы многочлен был приводимым.

Например, многочлен f(x) = x⁴ +4, который приводим над полем С и R (см . задачу 1) будет приводим и над полем Q:

f(x)=(x² + 2x + 2) (х² - 2х + 2), но действительных и рациональных корней он не имеет.

Замечание 3. Однако, если многочлен имеет хотя бы один рациональный корень, то он будет приводим над Q, R и С.