Доказательство.

Необходимость: пусть f(a) = 0 докажем, что f(x)/(x - a). Разделим f(x) на (x-a) с остатком, получим f(x) = (x-a)h(x) + r, где rÎС. Подставим в данное равенство вместо х, a, получим:

f(a) = (a - a)h(a) + r, т.к. f(a)=0 по условию, то 0 = 0 + r => r = 0, т.е. f(x)/(x - a)

Достаточность: пусть f(x)/(x - a), докажем, что f(a) = 0. Разделим f(x) = (x - a)h(x) + 0, подставим a, получим:

f(a) = (a - a)h(a) + 0 => f(a) = 0.

Следствие 1 (теорема Безу). Остаток от деления f(x) на (х - a) равен f(a) Действительно : f(x) = (x - a)h(x) + r, тогда f(a)=r.

Следствие 2. Если cm f(x) = n, f(x)ÎC[x], то f(x) = (x - a₁)× ×(x - a₂)...(x - a_n), т.е. неприводимыми многочленами над полем С будут только многочлены первой степени. Все многочлены, степень которых больше 1, будут приводимыми. Действительно: по основной теореме алгебры многочлен f(x) имеет хотя бы один корень. Обозначим его через a_i тогда по теореме 2: f(x)/(x - a) => f(x) = (x - a₁)h(x), где cm(x - a) = l, cm h(x) = n - l. Многочлен h(x) над полем С также будет иметь хотя бы один корень - обозначим его через a₂. Тогда, f(x) = (x - a₂)(x - a₂)q(x).

Продолжая рассуждения, на n – ом шаге мы получим: f(x)=(x - a₁)(x - a₂)...(x - a_n).

Замечание. Может случиться так, что

f(x)/(x-a) & f(x) /(x-a)² &…& f(x)/(x-a)^k; но f(x) не делится на

(x - a)^k+1, тогда a называют корнем кратности (к).

Следствие 3. Если многочлен f(x)ÎC[x], cm f(x) = n, то он имеет ровно (n) корней с учетом их кратности. Существует алгоритм деления многочлена f(x) на (х - a), который называют схемой Горнера.

Пусть f(x)=a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 +...+ a₁x + a₀, cm f(x) = n, a_n ¹ 0 разделим f(x) на (х-a), получим: (*) f(x) = (x-a)h(x) + r, где r Î Р,

cm h(x) = n – l.

Запишем h(x) в общем виде: h(x) = b_n-1x^n-1+b_n-2x^n-2.. +b₁x + b₀. Тогда, подставив в равенство (*)вместо f(x) и h(x) их выражения, получим:

a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 +...+ a₁x + a₀ = (х-a)( b_n-1x^n-1+b_n-2x^n-2... b₁x – b₀) + r

Т.к. многочлены равны, то и коэффициенты при соответствующих степенях должны быть равны.

Вычисление коэффициентов многочлена h(x) удобнее осуществлять с помощью таблицы (схемы Горнера).

an	an-1	…	a1	a0
bn-1 = an	bn-2 = abn-1 + an-1	…	b0 = ab1 + a1	r = ab0 + a0

С помощью схемы Горнера можно решать такие типы задач:

1. Найти h(x) и r при делении f(x) на (х - a);

2. Вычислить значение многочлена f(x) при х = a ;

3. Выяснить будет ли (х = a) корнем многочлена f(x), a ÎР;

4. Определить кратность корня;

5. Разложить многочлен по степеням (х - a).

Пример 2.Пусть f(x) = x⁵ - 15x⁴ + 76x³ - 140x² + 75x - 125 и a =5 Составим схему Горнера:

	-15		-140		-125
	-10		-10
	-5		-5

 

 

Какие результаты мы получили:

Во 2-ой строке таблицы мы видим, что остаток от деления f(x)на (х - 5) равен 0, следовательно, f(5) = 0, 5 – корень.

Из 3-ей и 4-ой строки видим, что этот корень имеет кратность 3, т.е. f(x)/(x - 5)³, причём, из 4-ой строки видим, что f(x) = (x - 5)³(х² + 1).

Чтобы разложить многочлен f(x) на неприводимые многочлены над полем С, остаётся найти корни многочлена h(x)=x² +1 в поле С, для этого необходимо решить уравнение: х² + 1 = 0 x₁ = i x₂ = -i.

Тогда, f(x) = (x - 5)³(x-i)(x+i) над полем С.

Для того, чтобы выяснить, многочлены какой степени приводимы и неприводимы над полем R, докажем теорему 3.

Теорема 3. Если z₀ Î С является корнем многочлена с действительными коэффициентами, то есть сопряженное комплексное число , также является корнем этого многочлена.