Доказательство.

Возьмём произвольное натуральное число (n) и составим последовательность натуральных чисел (n+1)!+2, n+1)!+3,…,(n+1)!+(n+1).

В этой последовательности каждое последующее число на 1 больше предыдущего, все эти числа составные, т.к. каждое имеет более двух делителей (например, первое число делится на 1, на 2 и само на себя). При n→∞ мы получим сколь угодно длинный интервал, состоящий только из составных чисел.

Теорема Евклида и теорема об интервалах свидетельствуют о сложном характере распределения простых чисел в натуральном ряду.

Основная теорема арифметики

Любое натуральное число n>1 может быть представлено единственным образом в виде произведения простых чисел, с точностью до порядка следования сомножителей.