Кольцо, поле, линейное пространство.
Определение 1. Алгебра <А, +, •> - называется кольцом, если бинарные операции +, • удовлетворяют условиям:
1 -4) <А, +> - коммутативная группа
5) " a, b, c Î A, a • (b + c) = ab + ас
(b + с) • а = bа + са
Из определения следует, что любое кольцо - это коммутативная группа, в которой операция сложения связана с операцией умножения левым и правым дистрибутивными законами. На операцию умножения в общем случае никаких ограничений не накладывается. Если операция умножения дополнительно обладает свойствами коммутативности, ассоциативности и нейтральным элементом, то кольцо называют ассоциативно - коммутативным кольцом с единицей.
Пример 1. <Z, +, •>, <Q, +, •>, <R, +, •>, <Zm, +, •> - коммутативные кольца.
Определение 2. Алгебра <А, +, • > называется полем, если бинарные операции сложения и умножения удовлетворяют условиям (аксиомам):
1 -4) < А, +> - коммутативная группа
5-8) <А\{0}, •> - коммутативная группа
9)" a, b, c Î A, a • (b + c) = ab + ас
(b +с) • а = bа + са
Из определения следует, что любое поле - это аддитивная и мультипликативная группа одновременно, а также коммутативно-ассоциативное кольцо с единицей, в котором каждый ненулевой элемент обратим.
Пример 2. <Q, +, •>, <R, +, • >, <Z°P, +, • > - поля.
Пусть дано не пустое множество V и поле F.
Элементы множества V будем обозначать малыми буквами латинского алфавита и называть векторами. Элементы поля F будем обозначать малыми буквами греческого алфавита и называть скалярами.
Определим на множестве V бинарную операцию сложения векторов Å: V´V®V, +<a, b> ® а + b
и внешнюю композицию wl: F•V®V
wl:<l,а> ® lа (умножение вектора на скаляр),
которую при фиксированном значении скаляра можно считать унарной операцией на множестве V.
Определение 3. Алгебра <V, +{wl | lÎF}> называется линейным векторным пространством относительно операции сложения векторов и умножения вектора на скаляр, если 1-4) <V, +> - коммутативная группа.
5) " a, b Î V " l Î F, l(а+b) = lа + lb
6) " a, b Î F " a Î V, (a+b) • a = aa + ba
7) " a, b Î F " a Î V, (a • b) • a = a • (b • a)
8) " a Î V, la = a
Из определения следует, что любое линейное векторное пространство является аддитивной коммутативной группой.
Примеры 3.<Rn, + {wl | lÎR}> - арифметическое линейное векторное пространство.
Роль векторов в этом пространстве играют арифметические векторы вида: a =(a1 ,a2, ...,an)
Операция Å - это операция сложения таких векторов, операция wl -это операция умножения арифметического вектора на действительное число. Легко проверить, что эти операции удовлетворяют условиям 1-8. Покажем, например, что <Rn, +> - коммутативная группа.
1. Так как операция + по определению является бинарной операцией на Rn, то < Rn , +> - алгебра.
2. " a, b Î Rn, a + b = b + a
Действительно, пусть a =(a1 ,a2, ...,an), b = (b1 b2, ... ,bn)
Тогда а+b=(a1+b1,a2 +b2, ...,an +bn), b+a=(b1+a1 ,b2+a2, ...,bn+an)
Так как операция сложения действительных чисел коммутативна, то a+b=b+a
3. " a, b, cÎ Rn, (a+b)+c=a+(b+c) проверяется аналогично.
4. Роль нуля будет играть вектор Q =(0,0 .. 0).
5. " a ÎV$ -а : а + (- а) = (-а) + а = Q действительно, если a =(a1 ,a2, ...,an), то -a =(-a1 ,-a2, ...,-an), которые в сумме дадут нулевой вектор.
Итак, <Rn, +> - коммутативная группа. Остальные условия в определении линейного пространства проверить самостоятельно.
Замечание. Линейные пространства <R1, + {wl | lÎR}>, <R2, +{wl | lÎR}>, <R3, +{wl | lÎR}> имеют наглядную геометрическую интерпретацию:
R1 - множество радиусов-векторов на прямой;
R2 - множество радиусов-векторов на плоскости;
R3 - множество радиусов-векторов в пространстве.