Формула вычисления векторного произведения

 

Теорема 1.8 (формула вычисления векторного произведения). Если векторы и в правом ортонормированием базисе имеют координаты и соответственно, то векторное произведение этих векторов находится по формуле (1.15), которую принято записывать в виде

 

 

(1.16)

 

Если и — координатные столбцы векторов и в стандартном базисе, то координатный столбец векторного произведения находится по формуле

 

 

В самом деле, выполняя умножение матрицы на столбец, получаем

 

Тогда , что совпадает с (1.15).

 

 

Пример 1.20. Параллелограмм построен на векторах (рис. 1.46). Найти:

 

а) векторные произведения и ;
б) площадь параллелограмма ;
в) направляющие косинусы такого вектора , перпендикулярного плоскости параллелограмма ,

для которого тройка , , — левая.

 

Решение. а) Векторное произведение находим по формуле (1.16):

 

Для нахождения векторного произведения можно использовать матричную запись формулы (1.15) (см. теорему 1.8). Векторам и соответствуют координатные столбцы .

 

По указанной формуле получаем координатный столбец вектора :

 

то есть . Результаты совпадают.

 

Векторное произведение находим, используя алгебраические свойства:

 

Следовательно, .

 

б) Площадь параллелограмма находим как модуль векторного произведения :

 

в) Вектор, противоположный вектору , удовлетворяет перечисленным в условии требованиям, поэтому

 

Разделив этот вектор на его длину , получим единичныи вектор:

 

Согласно его координатами служат направляющие косинусы

 

51. Мішаний добуток векторів, його властивості та геометричний зміст. Необхідна та достатня умова компланарності векторів. Обчислення мішаного добутку.