Многозначные логики. Трехзначная логика Лукасевича

Первые многозначные логики построили независимо друг от друга польский логик Я. Лукасевич в 1920 г. и американский логик Э. Пост в 1921 г. С тех пор построены и исследованы десятки и сотни таких «логик».

Я. Лукасевичем была предложена трехзначная логика, основанная на предположении, что высказывания бывают истинными, ложными и возможными, или неопределенными. К последним были отнесены высказывания наподобие: «Я буду в Москве в декабре будущего года». Событие, описываемое этим высказыванием, сейчас никак не предопределено ни позитивно, ни негативно. Значит, высказывание не является ни истинным, ни ложным, оно только возможно[1].

Все законы трехзначной логики Лукасевича оказались также законами и классической логики; обратное, однако, не имело места. Ряд классических законов отсутствовал в трехзначной логике. Среди них были закон противоречия, закон исключенного третьего, законы косвенного доказательства и др. То, что закона противоречия не оказалось в трехзначной логике, не означало, конечно, что она была в каком-то смысле противоречива или некорректно построена.

Э. Пост подходил к построению многозначных логик чисто формально. Пусть 1 означает истину, а 0 – ложь. Естественно допустить тогда, что числа между единицей и нулем обозначают какие-то уменьшающиеся к нулю степени истины.

Такой подход вполне правомерен на первом этапе. Но чтобы построение логической системы перестало быть чисто техническим упражнением, а сама система – сугубо формальной конструкцией, в дальнейшем необходимо, конечно, придать ее символам определенный логический смысл, содержательно ясную интерпретацию. Вопрос о такой интерпретации – это как раз самая сложная и спорная проблема многозначной логики. Как только между истиной и ложью допускается что-то промежуточное, встает вопрос: что, собственно, означают высказывания, не относящиеся ни к истинным, ни к ложным? Кроме того, введение промежуточных степеней истины изменяет обычный смысл самих понятий истины и лжи. Приходится поэтому не только придавать смысл промежуточным степеням, но и переистолковывать сами понятия истины и лжи.

В качестве исходных терминов трехзначной логики Лукасе­вич избирает импликацию и отрицание, определяемые следую­щей матрицей (выделенное значение 1):

		1/2 1	~
		1 1
1/2	1/2	1 1	1/2
*1		1/2 1

На базе этой логики Лукасевич пытается сконструировать такое определение возможности, которое позволило бы обосно­вать все традиционные утверждения, касающиеся модальных выс­казываний.

В начале Лукасевич вводил понятие «чистой» возможности, определявшееся в терминах трехзначных пропозициональных связок таким образом:

Mp = _Dj(p ~p) v ( q) ~ (p q & ~q).

В соответствии с этим определением выражение «возможно, что р» означает «или высказывание р эквивалентно своему отри­цанию, или не существует такой пары противоречащих друг дру­гу высказываний, которая вытекала бы из р».

Указанное определение является не особенно естественным. Более очевидным Лукасевичу кажется связанное с ним определе­ние невозможности:

~Мp = _Dj(p ~p) v ( q) ~ (p q & ~q),

«высказывание р невозможно, если и только если оно не эквива­лентно своему отрицанию и влечет некоторое противоречие». Матрица для чистой возможности:

р		1/2 1
Мр		1 1/2

Используя эту матрицу, нетрудно убедиться, что ни из одно­го из высказываний «α» и «невозможно α» не выводимо высказы­вание «возможно α».

В дальнейшем Лукасевич вместо понятия чистой возможности, не вытекающей ни из истинности, ни из необходимости, стал ис­пользовать более общее понятие возможности, находящееся в боль­шем соответствии с условиями, выраженными утверждениями I - I I I.

Предложенное А. Тарским и принятое Лукасевичем опреде­ление возможности таково:

Mp = _Dj ~р р.

В двузначной логике выражение ~р p эквивалентно p. В трехзначной логике импликация

(-p p) p

не является тавтологией и приведенное определение можно ис­толковать таким образом: если удается вывести некоторое выска­зывание из его отрицания, то это высказывание определенно не является ложным и, значит, не является также невозможным. Сходным образом, определение необходимости:

~М~р =_Dj~ (p ~p)

можно передать так: высказывание необходимо в том и только том случае, когда оно не влечет свое собственное отрицание.

Аксиоматизация трехзначной логики

Трехзначная логика Лукасевича, заданная им матричным спо­собом, была позднее аксиоматизирована М. Вайсбергом, который принял в качестве аксиом следующие выражения:

(p q) (q r .p r),

p ((~p p) p),

p (q p),

~p (~q .q p).

Правилами вывода являются правило подстановки и прави­ло отделения для трехзначной импликации.

Трехзначная логика, определенная Лукасевичем матричным методом и аксиоматизированная Вайсбергом, неполна: в ней не определены все функции от одного аргумента и все функции от двух аргументов. Е. Слупецкий показал, что для получения фун­кционально полной трехзначной системы к имеющимся в ней импликации и отрицанию достаточно присоединить функцию T, определимую следующей матрицей:

р		1/2 1
Тр		2 2

При аксиоматическом построении трехзначной логики к ак­сиомам Вайсберга должны быть присоединены две аксиомы, включающие Т:

Тр ~Тр,

~Тр Тр.

В 1938 г. на конференции в Цюрихе, посвященной основани­ям и методам математики, Лукасевич сделал доклад «Логика и проблема обоснования математики». В нем он указал, что полная трехзначная логика может быть аксиоматизирована путем при­соединения к аксиомам для импликации и отрицания следующих четырех аксиом, включающих возможность:

~Мр (~Мр ~р),

~М ~р (~М ~р р),

Мр (Мр М ~ р),

(p q)D (( ~p q)D ((Мр q) q)).

Касаясь в этом докладе вопроса об интуитивной приемлемо­сти теорем трехзначной логики, Лукасевич отметил, в частности, что эта система имеет интуитивную интерпретацию. Однако, со­гласующаяся с интуицией интерпретация всех функторов, опре­делимых в данной системе, невозможна. Их число (3⁹) слишком велико, чтобы в обычном языке нашлись выражения, соответству­ющие каждому из них. Это относится, между прочим, и к двузнач­ной логике. Невозможность выражения (в обычном языке) части - даже большей части - возможных функций не является, следо­вательно, аргументом против интуитивного характера системы.

Импликация р q трехзначной логики эквивалентна вы­ражению

(~р v q) v М(~р & q),

интуитивный смысл которого трудно уловим. В связи с этим име­ют определенный смысл поиски такой системы аксиом этой логи­ки, в которую входили бы в качестве исходных терминов дизъюнк­ция (конъюнкция), отрицание и один из модальных функторов. Предположение, что при аксиоматизации трехзначной логики Лу­касевича вместо импликации и отрицания может использоваться любой из следующих триплетов функций: v, ~, L; v, ~, М; &, ~, L; &, ~, М, было высказано Е. Слупецким. Он же показал, что всем этим функциям можно дать «интуитивную интерпретацию».

В аксиоматизации указанного типа, предложенной Г. Брылем и Т.Пруцналем, правилами вывода являются правило под­становки и правило «отделения»: если -Lα v β и α, то β. Для упро­щения аксиом в качестве сокращения выражения ~Lα v β вводит­ся функция р q имеющая матрицу следующей формы:

		1/2 1
		1 1
1/2		1 1
*1		1/2 1

Аксиомами являются утверждения:

Каждая теорема этой аксиоматической системы является тав­тологией трехзначной логики, определяемой матрицей:

v		1/2 1	L	~
		1/21
1/2	1/2	1/21		1/2

*1 1 1 1 1 1

и каждая формула, являющаяся тавтологией в соответствии с этой матрицей, доказуема в данной системе.

Модальная логика и многозначная логика

Трехзначной логике Лукасевича посвящено очень большое число работ. И вместе с тем в логической литературе почти нет работ, в которых исследовались бы модальные функции, опреде­лимые в этой трехзначной логике. Этот несколько странный факт объясняется, на наш взгляд, несколькими обстоятельствами.

Прежде всего, первая модальная логика Лукасевича основы­вается на неклассической логике высказываний, что существенно затрудняет ее сопоставление с модальными системами Льюиса, являющимися расширениями двузначной пропозициональной логики. Это сопоставление оказывается непростым делом и в силу того, что модальные понятия трехзначной логики имеют очень сво­еобразный смысл и используются для необычной цели. Льюисом исследовались логические модальности и само исследование про­водилось с явным намерением использовать его результаты при анализе понятия логического следования. Интерес Лукасевича к модальным понятиям был связан прежде всего с использованием их в прогностических высказываниях, то есть высказываниях, го­ворящих о существовании или несуществовании определенных будущих событий. Сопоставление модальных систем, исходные понятия которых столь различны, требует, конечно, крайней ос­торожности и не может ограничиваться выяснением чисто фор­мальных аспектов взаимоотношения таких систем.

До сравнительно недавних пор модальная логика занималась преимущественно исследованием логических модальностей и тех систем, которые, подобно системам Льюиса, дают описание их формальных свойств. Трехзначная модальная логика Лукасеви­ча, ориентирующаяся на описание других свойств или функций модальных понятий, оказалась в силу этого несколько в стороне от основной линии развития модальной логики. В последнее вре­мя в модальной логике наряду с теорией логических модальных понятий возник, однако, целый ряд разделов, занимающихся по­нятиями иных видов, и в частности, временными модальными по­нятиями, близкими по своему содержательному смыслу модаль­ностям трехзначной логики Лукасевича. Можно предположить, что исследование нелогических модальностей будет стимулиро­вать интерес к первой модальной логике Лукасевича и в особен­ности к тем содержательным рассуждениям, которые привели Лукасевича к ее построению.

Неисследованность трехзначной модальной логики в значи­тельной мере объясняется также тем, что она не дает адекватного описания формальных свойств модальных понятий и интересна главным образом только как первый шаг на пути к такому описа­нию. Принимаемые в ней определения модальных понятий не вполне естественны, получаемые с их помощью утверждения не имеют, как правило, ясного смысла.

Чтобы убедиться в этом, достаточно рассмотреть предложен­ную Лукасевичем аксиоматизацию полной трехзначной логики, включающую аксиомы для понятия возможности. Ни одна из этих четырех аксиом не выражает ясной и интуитивно приемлемой идеи о возможности, и естественно, что и следствия данных ак­сиом также не отличаются ясностью.

Не является ясной и проблема интерпретации трехзначной модальной логики. Лукасевич утверждает, что всякая модальная система должна быть многозначной. Помимо истины и лжи он вводит еще одно дополнительное значение истинности - возмож­ность, определяя возможное высказывание как высказывание не являющееся в настоящий момент ни истинным, ни ложным.

Но возможность, необходимость и невозможность не могут служить альтернативами для истины и лжи. Всякое высказывание, независимо оттого, какой является его модальная характеристика, является истинным или ложным. Если высказывание необходимо, то оно истинно, если высказывание возможно, то оно может быть истинным и может быть ложным, но оно опять-таки имеет опре­деленное истинностное значение. Кажется поэтому, что характе­ристики высказываний с помощью двух или большего числа зна­чений истинности и характеристики высказываний с помощью мо­дальных понятий являются двумя принципиально разными типами характеристик, смешиваемыми втом случае, когда для развития мо­дальной логики используется многозначное исчисление.

На эту неясность в истолковании выражений «возможно, что р» и «высказывание «p» имеет промежуточное между истиной и ложью истинностное значение» обращали внимание многие ав­торы. Т. Котарбиньский, в частности, писал: «Довольно загадоч­ной остается и проблема интерпретации как знака половинчато­сти (а также других знаков «логических значений» в n-значных системах), так и существующего в системе Лукасевича функ­тора M, читающегося «возможно, что». Ведь именно он должен вводить понятие возможности в исчисление высказываний, но, с другой стороны, и знак половинчатости тоже должен говорить о какой-то «возможности» высказывания, логическим значением которого он является. Более того, Лукасевич, по крайней мере в период создания системы, считал, что представляют интерес два допущения: либо возможность не подлежит градации, и в таком случае жизненной является трехзначная логика, либо возмож­ность подлежит градации на бесконечное количество степеней, и тогда жизненной является бесконечнозначная логика. Понимае­мые таким образом логические значения являлись бы определен­ными мерами возможности. Нам представляется по крайней мере, что здесь многое оставалось бы неясным».

Разделяемое многими логиками убеждение, что использова­ние многозначных построений для определения модальной ло­гики вносит некоторую двусмысленность в значения модальных понятий и приводит к смешению разных аспектов анализа модаль­ных высказываний, также явилось одной из причин того, что трех­значная модальная логика Лукасевича не стала объектом всесто­роннего анализа.

Содержательные предпосылки модальной логики:

Трехзначная логика была построена Лукасевичем с намере­нием использовать ее для подтверждения определенных философ­ских идей. В этой логике он видел важный аргумент в пользу по­зиции, называвшейся им не вполне точно «индетерминистичес­кой». Трехзначная логика представляла для него особый интерес также в силу того, что он намеревался разъяснить с ее помощью модальные понятия, не имеющие аналогов среди одноаргумент­ных функторов двузначной логики.

Построение трехзначной логики Лукасевич предваряет тщатель­ным анализом того смысла выражения «возможно, что», который связан с вопросом об истинностном значении высказываний о еди­ничных будущих событиях и вопросом о детерминированности этих событий некоторыми предшествовавшими им событиями.

Под детерминизмом Лукасевич понимает не просто утверж­дение о всеобщей предопределенности и отсутствии свободы воли. Если Ян встретился вчера в полдень с Павлом на рынке в Варшаве, то хотя факт этой встречи сегодня уже не существует, он не является чистой иллюзией. Он представляет собой какую-то часть реальности и можно во всякое более позднее время сказать: «ис­тинно в t, что р» или «имеет место в момент t, что p», понимая под p утверждение о встрече Яна с Павлом и под t — момент высказы­вания о ней. То, что произошло, не может не быть или исчезнуть, что однажды было истиной, останется ею всегда. Это утвержде­ние, о вечном будущем существовании всякой истины Лукасевичу представляется совершенно очевидным: если какой-то пред­мет A есть В в момент t то истинно в каждый момент, следующий за t, что А есть В в момент t.

Иначе обстоит дело с вопросом о том, все ли, что когда-нибудь возникает и когда-то будет истинным, уже сегодня истинно и было истинно от века. Именно при ответе на этот вопрос появляется раз­личие детерминистической и индетерминистической позиций: де­терминист отвечает на него утвердительно, индетерминист — от­рицательно. По мысли детерминиста, если А есть В в момент t то истинно во всякий момент предшествующий t, что А есть В в t. Де­терминистическая позиция представляется Лукасевичу совершен­но неприемлемой, так как она лишает человека свободы воли и превращает его в марионетку.

Отбрасывая детерминистический взгляд на мир, Лукасевич принимает, что не все будущие события предопределены сейчас и что некоторые высказывания о будущих событиях не являются сейчас ни истинными, ни ложными. Свой подход он резюмиро­вал позднее таким образом: «Следуя знаменитому примеру Арис­тотеля [с морской битвой] я пришел к заключению, что высказы­вания о возможных будущих событиях не являются в настоящем ни истинными, ни ложными. То, что я буду в Варшаве в полдень 8 декабря 1939 года, - это утверждение, о котором сегодня нельзя правильно сказать, что оно истинно, или ложно. Значит, должно быть некоторое третье истинностное значение. Это третье истин­ностное значение находится в том же отношении к возможности, как истина к бытию и ложь к небытию. На базе этой идеи я пост­роил еще до 1920 года трехзначную матрицу. Пусть переменные р, q, r,... представляют утверждения о со­бытиях, переменные t ¹, t², ... - моменты времени, в которые про­исходят эти события, символ Т - выражает «истинно, что», как оно понимается Лукасевичем, символы < и = - отношения «рань­ше» и «одновременно», имеющие место между моментами време­ни. Используя эти символические средства, утверждению Лука­севича о вечном сохранении всякой истины можно дать такую символическую формулировку:

«для каждого события верно, что в какой бы момент времени t ¹оно ни происходило, в каждый одновременный или более поздний момент t ² истинно, что это событие было в t ¹». Это утверждение о неизменности прошлого и настоящего, являющееся, по мысли Лукасевича, приемлемым как для детерминизма, так и для инде­терминизма, прямо связано со вторым его требованием к модаль­ной логике. В соответствии с этим требованием в модальной ло­гике должно быть доказуемо утверждение о необходимости суще­ствующего. Как формулировка этого утверждения, данная Лейбницем, так и приводимые Лукасевичем примеры говорят, что в нем идет речь о временном существовании и что его можно по­нимать как частный случай принципа (1), а именно тот случай, когда моментом t ¹, в который происходит рассматриваемое собы­тие, является настоящее, а момент t ², в который фиксируется не­обходимость этого события, совпадает c t ¹. Используя букву S для обозначения того выделенного момента времени, каким являет­ся настоящее, этому частному случаю принципа (1) можно при­дать следующую формулировку:

Учитывая, что моменты t ¹ и t ² совпадают друг с другом и с мо­ментом, представляемым константой 5, и что выражение T t ²(Tt ¹p) в истолковании Лукасевича означает «детерминировано (необхо­димо) в t ², что в t ¹ имеет место p», последнюю формулировку мож­но упростить до формулы (Lp — «необходимо, что p»):

TSp LTSp,

«если сейчас имеет место p, то необходимо, что сейчас имеет место p». Такой, на наш взгляд, должна быть символическая формули­ровка положения Лейбница о необходимости существующего.

Сам Лукасевич, после определенных колебаний, передает это положение в форме

р Мр.

Очевидно, что эта запись является неадекватной. Выражение p Мр эквивалентно на базе принимаемых Лукасевичем опре­делений модальных понятий формуле р Lp. Последняя прямо утверждает необходимость всякого истинного высказывания, бе­зотносительно к тому, говорит ли это высказывание о настоящем или нет, и фиксируется ли его необходимость в момент его выс­казывания (или в более поздний момент) или нет. Идея же Лейб­ница состоит совершенно в другом: по существу, он повторяет восходящую к Аристотелю мысль о неотъемлемости и неуничто­жимости (прошлых и) настоящих фактов. Эта мысль была хоро­шо известна также средневековым философам, выдвинувшим за­долго до Лейбница принцип «facta infecta fieri non possunt». Для символического выражения этого и сходных с ним принципов определенно нужны средства, позволяющие проводить времен­ные различия, и в частности, средства, дающие возможность раз­личать момент наступления некоторого события и момент выс­казывания об этом событии.

В пропозициональной логике, дополненной понятиями не­обходимости и возможности, таких средств нет, и на ее языке нельзя выразить ни утверждение Лейбница, ни какое-либо сход­ное утверждение. Требование Лукасевича, чтобы в модальной ло­гике была доказуема формула р Lp, основывается на пренебре­жении этим важным обстоятельством.

Использую введенную нами символику, утверждение о предоп­ределенности всякой истины, характерное, по мнению Лукасеви­ча, для детерминистической позиции, можно сформулировать так:

«для каждого события верно, что в какой бы момент времени t¹ оно ни происходило, в каждый предшествующий момент t² было истинно, что в t¹ будет иметь место это событие». Это утвержде­ние прямо связано с третьим требованием, предъявляемым Лука­севичем к модальной логике и говорящим о существовании ис­тинных двусторонне возможных (случайных) высказываний.

Учитывая, что Лукасевич постоянно говорит о настоящем, введем в формулу (2) вместо произвольного момента t² фиксиро­ванный момент S, то есть возьмем частный случай этой формулы, говорящий о предопределенности будущего настоящим:

 

Отрицанием последней формулы является формула

«существует такой момент будущего t¹ и такое событие, что сейчас не является истинным, что в этот момент t¹ будет иметь место данное событие». Это высказывание выражает идею существования непредопределенного сейчас будущего события. Допущение возможности таких событий и является, согласно Лукасевичу, существом индетерминистического взгляда на мир. В своей работе 1930 года он выражает это допущение в форме:

( р)(Мр & М~р).

Если учесть, что по определению Лукасевича возможным яв­ляется сейчас то будущее событие, отсутствие которого в будущем сейчас не предопределено, этой формуле можно поставить в со­ответствие формулу:

и, далее, формулировку:

Связь формул (3) и (4) проста: из второй следует первая, от­личающаяся от первой только отсутствием указания на непредоп­ределенность не только рассматриваемого события, но и проти­воположного события.

Таким образом, анализ ранних работ Лукасевича, посвящен­ных трехзначной модальной логике, и сопоставление этих работ, и прежде всего его речи «О детерминизме», с более поздними его работами, посвященными этой же теме, позволяет прийти к сле­дующим выводам:

(1)Трехзначная модальная логика замышлялась Лукасевичем как логическая теория утверждений, говорящих о существовании во времени, и прежде всего, как логика утверждений о будущих случайных событиях.

(2)Лукасевич намеревался показать с помощью этой логи­ки несостоятельность убеждения в предопределенности всякого будущего события и требовал поэтому, чтобы трехзначная логи­ка была совместима с допущением случайных (непредопределенных) событий.

(3)Пытаясь дать логику временных утверждений, Лукасевич не прибегал, однако, ни к каким специальным средствам, позво­ляющим явно выразить временные характеристики этих утверж­дений. Из-за этого многие его рассуждения, относящиеся к суще­ствованию во времени и к модальным характеристикам прошлых и настоящих событий, являются довольно неясными, а предпола­гаемые им символические формулировки неадекватными.

(4)Выдвигаемые Лукасевичем добавления к модальной ло­гике не являются в достаточной мере обоснованными. Требова­ние доказуемости в ней формулы р Lp тесно связано с недоста­точностью используемых Лукасевичем средств и явно не пере­дает той его идеи, которую он намеревался выразить с помощью данной формулы. Нет поэтому ничего странного в том, что это требование оказалось несовместимым с двумя другими требова­ниями Лукасевича и привело его к целому ряду не вполне обо­снованных выводов.

Подводя итог обсуждению трехзначной логики, следует ска­зать, что, несмотря на все ее недостатки, ее построение является одной из важных заслуг Лукасевича. Она была одной из самых первых модальных систем в рамках современной формальной ло­гики и была вместе с тем первой попыткой дать теорию модаль­ных понятий, отличную от логических модальностей. Последнее обстоятельство следует особо подчеркнуть.

Трехзначная модальная логика была первой попыткой опи­сания высказываний, говорящих о случайных будущих событи­ях, и в частности о событиях, связанных с человеческой деятель­ностью. Анализ Лукасевичем возможных в этом смысле высказы­ваний вплотную подводил к мысли о введении в логику временных модальных понятий «было», «есть» и «будет» и тем самым к идее создания нового раздела логики — логики времени. Хотя эта идея так и осталась незамеченной, первая модальная логика Лукасе­вича в ретроспективе может рассматриваться как одна из совре­менных предшественниц логики времени.

Область применения:

1. Для проектирования оболочек экспертных систем (как механизм вывода экспертных систем).

2. Построение теории «правдоподобных» выводов.

3. Описание событий, связанных с человеческой деятельностью.

4. Для подтверждения определенных философских идей.

5. Предсказание вероятностных будущих событий.

6. Например, для моделирования распространения лесного пожара (и других «стихийных» событий).