Решение типовых задач

5.1 Гидростатика

 

Задача 1.

Определить абсолютное давление р_о на свободной поверхности воды в нижнем сосуде, если в верхнем сосуде жидкость керосин Т–1. Известны h₁ и h₂ .h₁ = 210 мм; h₂ = 170 мм.

 

ρ_к = 808 кг/м³ – плотность керосина;

ρ = 1000кг/м³ – плотность воды.

Решение.

Согласно основному уравнению гидростатики р_абс =р₀+ ρgh, где р₀ –давление на поверхности жидкости; ρ – плотность жидкости; h – глубина погружения точки.

Давление на поверхности в нижнем сосуде равно р_о.

Тогда ·9,81∙0,21+1000∙9,81∙0,17=103330 Па.

 

Ответ: абсолютное давление на поверхности воды в нижнем сосуде 103330 Па.

 

Задача 2.

Определить силу давления на коническую крышку горизонтального цилиндрического сосуда с диаметром D, заполненного водой с температурой С, показание манометра р_м. Показать на рисунке вертикальную и горизонтальную составляющие силы, а также полную силу давления на коническую крышку. D=a.

р_м= 0,4 МПа = 400 000 Па; а = 1000 мм = 1м; D = 1,2 м; ρ = 1000 кг/м³.

 

Решение.

Коническая крышка имеет криволинейную стенку. Сила гидростатического давления на эту стенку будет равна ,

рм

D

а

D

Sz

Px

Pz

P

где Р_х – проекция силы на горизонтальную ось;

Р_z – проекция силы на вертикальную ось.

Р_х = , где р_с – давление в центре тяжести вертикальной проекции крышки S_х= ;

h_c – глубина погружения центра тяжести вертикальной проекции крышки S_z. м;

Р_z – вес жидкости в объёме конической крышки V;

.

Тогда полная сила гидростатического давления на коническую крышку будет равна:

.

Ответ: Р = 451 000Н

Задача 3.

Плоский прямоугольный щит АВ шириной в =2 м, расположенный под углом α = 60^о к горизонту, поддерживает уровень воды в прямоугольном канале глубиной H=4м. Определить силу гидростатического давления на щит и положение центра давления. Построить эпюру гидростатического давления.

Решение. Силу избыточного гидростатического давления определим по формуле (М.2). В нашем случае h _c = H / 2. А площадь щита

S = в Н / sinα = 2·4 / 0,866 = 9,25 м².

 

 

 

α

 

Р =ρgh_cS = 998∙9.81∙9.25 =181 480 H.

Положение центра давления определяется по формуле

,

где м⁴

Следовательно,

 

Задача 4.

Определить величину и направление силы гидростатического давления на четверть АВ цилиндрической стенки, поддерживающей слой воды h = r = 2 м. Ширина криволинейной поверхности b = 4 м.

О

А

Рz

В

Рх

Р

D

r

h

 

Решение. По формуле определим горизонтальную составляющую силы Р_X.

Р_Х = =1000·9,81·2²/2·4 = 80 000 Н.

По формуле определим вертикальную составляющую силы. Объём тела давления рассчитываем по формуле

.

Тогда

По формуле находим равнодействующую силы давления.

Р = .

Направление силы гидростатического давления определяется углом наклона её к горизонту, тангенс которого находят из силового треугольника.tgα = P_Z / P_X = 122 970/80 000= 1,54 , α=57 ⁰С.

Проведя прямую через центр окружности (точка О) под углом α к горизонту, получим направление Р, а точка пересечения этой прямой с образующей цилиндра даёт центр давления - точку D.

 

5.2 Гидродинамика

Задача 5.

По горизонтальной трубе общей длиной l=10 м и внутренним диаметром d = 60 мм подаётся вода при температуре t = 20^о С. Труба снабжена вентилем К (коэффициент сопротивленияξ=5), а также манометрами, которые фиксируют избыточные давление р₁ = 2·10⁵ Па на входе и р₂ = 1,5·10⁵ Па на выходе.

Определить расход воды Q, приняв в расчётах коэффициент гидравлического трения λ=0,023, и построить в масштабе напорную и пьезометрическую линии для трубы.

 

Решение. Для определения расхода воды найдём среднюю скорость её движения по трубопроводу, применив уравнение Бернулли для сечений 1−1 и 2−2:

(А)

За плоскость сравнения принимаем плоскость, проходящую через ось трубы 0−0. Так как заданный трубопровод постоянного диаметра, то

скоростные напоры в сечениях 1−1 и 2−2 будут равными. Тогда уравнение Бернулли (А) примет вид

 

.

 

Пьезометрическая линия

 

Напорная линия

 

 

Р1

Р2

К

 

 

Сумма гидравлических потерь h_1-2 состоит из потерь в местных сопротивлениях h_м и потерь по длине h_тр:

Подставим значения потерь в уравнение Бернулли (Б) и определим среднюю скорость:

,

 

Определим расход воды по формуле

Для построения напорной и пьезометрической линий рассчитаем:

1) скоростной напор ;

для определения α найдём число Рейнольдса:

,

где υ – кинематический коэффициент вязкости воды при 20 ^оС;

режим течения турбулентный, поэтому ,

;

2) полный напор в сечении 1−1:

;

3) полный напор в сечении 2−2:

;

4) потери напора в вентиле К

;

5) потери напора на длине :

.

Проверка по уравнению (Б):

20,39 = 15,29 + 2,9 + 2∙1,11

20,39 = 20,41,

т.е. расчёты выполнены верно, относительная погрешность составляет (0,02:20,4)·100 = 0,1 %.

По найденным выше значениям строим линии. Откладываем от плоскости сравнения 0−0 в сечении 1−1 в масштабе полный напор Н₁=20,97 м, и по ходу движения воды от него отнимаем потери

Получаем напорную линию. Откладывая от неё вниз скоростной напор h_ск, получаем пьезометрическую линию.

 

Задача 6.

При движении жидкости из резервуара в атмосферу по горизонтальному трубопроводу диаметром dи длиной уровень в пьезометре, установленном посредине длины трубы равен h. Определить расход воды и коэффициент гидравлического трениятрубы , если статический напор в баке постоянен и равен Н. Построить пьезометрическую и напорную линии. Сопротивлением входа в трубу пренебречь.

Н=7 м, h=3 м, м, d=30 мм = 0,03 м, =1000 кг/м³.

Решение. Составим уравнение Бернулли для сечений 1–1 и 2–2, плоскость сравнения проходит через ось трубы 0–0. ,

где z – расстояние от плоскости 0–0 до центра тяжести сечения;

– пьезометрическая высота в сечении;

– скоростная высота в сечении;

– потери напора на гидравлические сопротивления между сечениями.

Тогда ,

где – коэффициент гидравлического трения;

– потери напора на трение,

тогда

Составим уравнение Бернулли для сечений 2−2 и 3−3 и решим относительно плоскости 0−0.

,

.

 

Отсюда

Решаем совместно полученные выражения

 

м/с.

Расход жидкости м³/с.

Определим :

.

 

Ответ: λ=0,03, Q=0,00313 м³/с.

 

5.3 Истечение жидкости через отверстия и насадки

Задача 7.

Определить длину трубы , при которой опорожнение цилиндрического бака диаметром Dна глубину Н будет происходить в два раза медленнее, чем через отверстие того же диаметра d. Коэффициент гидравлического трения в трубе принять λ=0,025.

Н = 8 м, d = 0,5 м.

Решение.

Расход через отверстие в тонкой стенке равен ,

где μ – коэффициент расхода при истечении через отверстие ;

S – площадь сечения отверстия, ;

Н – напор.

Расход через трубу длиной и диаметром d c условием задачи составит:

, где – коэффициент расхода через трубу.

Время опорожнения сосуда при переменном напоре определяется по формуле , где V – объём жидкости в баке при наполнении его напором Н; Q_Д – действительный расход.

По условию задачи , или .

Тогда . Из этого выражения найдём длину трубы .

м.

Ответ: длина тубы l = 19,5м.

 

5.4 Гидравлический удар в трубах

 

Задача 8.

Вода в количестве Q перекачивается по чугунной трубе диаметром d, длиной l c толщиной стенки . Свободный конец трубы снабжён затвором. Определить время закрытия затвора при условии, чтобы повышение давления в трубе вследствие гидравлического удара не превышало Па. Как повысится давление при мгновенном закрытии затвора?

Q =0,053 м³/с. d = 0,15м , l = 1600м , = 9,5 мм , = 1 000 000 Па, =1000 кг/м³.

Решение.

При условии, что время полного закрытия затвора , ударная волна будет равна ,

где – плотность жидкости;

v– начальная скорость течения жидкости;

l – длина трубы;

T – фаза гидравлического удара.

Из этого выражения следует

.

По условию задачи ∆р=1 000 000 Па. м.

Т = с.

При мгновенном закрытии затвора превышение давления составит

,

где Е_Ж – модуль упругости жидкости, Е_Ж = Па;

Е – модуль упругости материала трубы, Е = 152 Па;

d – диаметр трубы;

δ– толщина стенки трубы.

кПа.

Ответ: Т = 0,1 с, кПа.

 

Список литературы

 

1. Прозоров И.В., Николадзе Г.И., Минаев А.В. Гидравлика, водоснабжение и канализация. - М.: Высшая школа, 1990.

2. Калицун В.И. Гидравлика, водоснабжение и канализация: Учеб. Пособие для вузов по спец. «Пром. и гражд. стр-во». – 4-е изд., перераб. И доп. – М.: Стройиздат, 2003.

3. Константинов Н.П., Петров Н.А., Высоцкий Л.И. Гидравлика, гидрология, гидрометрия: учебник для вузов. В 2 ч. /Под ред. Н.М. Константинова. – М.: Высш. шк., 1987. – 438 с.: ил.

4. Альтшуль А.Д., Животовская Л.С., Иванов Л.П. Гидравлика и аэродинамика. − М.: Стройиздат, 1987.− 470 с.

5. Чугаев Р. Р. Гидравлика.– Л.: Энергоиздат, 1982. – 678 с.

6. Основы гидравлики и аэродинамики: учебник для техникумов и колледжей. Калицун В.И., Дроздов Е.В., Комаров А.С., Чижик К.И.– 2-е изд., перераб. и доп. – М.: ОАО Изд-во «Стройиздат», 2004. – 296 с.

7. Киселёв П.Г. Гидравлика: основы механики жидкости и газа: учеб. пособие для вузов. – М.: Энергия, 1980. – 460.

8. Справочник по гидравлике. / Под ред. В.А. Большакова− Киев: издательское объединение «Вища школа», 1977.− 280 с.

 

 

Приложение А

(справочное)