Пример 1
Груз массой 3 т поднимается с ускорением 2 м/с2. Определите работу, производимую в первые 1,5 с, от начала подъема.
Решение
Высота подъема за первые t, c определяется по формуле:
H=h=a•t2/2. … (1)
На груз действуют две силы – сила тяжести mg и сила Т натяжения троса:
Т – mg=ma, … (2)
Отсюда,
Т=m(a+g). … (3)
Произведенная лебедкой работа равна:
A=T•h=m(a+g)• a•t2/2. … (4)
Ставим численные данные и вычислим:
А=300•(9,81+2)•2•1,52/2=79 650 Дж.
Ответ: А=79 650 Дж.
Пример 2
Воду качают из колодца глубиной 20 м. Для откачки поставлен насос с мотором, мощность которого равна 5 л.с. Найдите КПД мотора, если известно, что за 7 ч работы насоса объем воды, поднятой из колодца, равен 3,8•105 л.
Решение
Мощность мотора N связана с работой А, которую он совершает за время t, соотношением:
N=A/ηt, , … (1)
где η – КПД мотора.
Работа, которую нужно произвести, чтобы поднять массу m воды на высоту h, равна:
A=mgh. , … (2)
При этом вода занимает объем:
V=m/ρ, , … (3)
где ρ – плотность воды. Из этих соотношений следует:
N=Vghρ/ηt, … (4)
Откуда
η=Vghρ/Nt/, … (5)
Приведем данные в системе СИ: N=5 л.с.=5•736 Вт=3680 Вт, g=9,81 м/с2, h=20 м, V=3,8•105 л=3,8•105•10-3 м3=3,8•102 м3, ρ=1 г/см3=10-3 кг/м3.
η=3,8•102•9,81•20•10-3/3680•7•3600=0,8=80%
Ответ: η=80 %.
Пример 3
На барабан, массой M=9 кг намотан шнур, к концу которого прикреплен груз, массой m=2 кг. Найдите ускорение груза. Барабан считать однородным цилиндром.
Решение
Применим закон сохранения энергии. При опускании груза, его потенциальная энергия уменьшается, переходя в кинетическую энергию вращения барабана. Таким образом:
mgh=mυ2/2+Jω2/2, …..(1)
где J – момент инерции барабана. Так как J=MR2/2 и ω=υ/R, где R – радиус барабана, то уравнение (1) можно записать в виде:
mgh=(m+M/2)•υ2/2. … (2)
Груз опускается, под действием постоянной силы, т.е с постоянным ускорением, поэтому:
h=at2/2 и υ=at. … (3)
Подставляя (3) в (2) получим:
a=2mg/(M+2m) …. (4)
Подставляя численные данные, вычислим:
а=2•2•9,81/(9+2•2)=3 м/с.
Ответ: а=3 м/с