Проверка теоремы о разложении дисперсии

Правило сложения дисперсий: общая дисперсия равна сумме межгрупповой дисперсии и средней из внутригрупповых дисперсий.

Общая дисперсия по формуле:

=

 

Таблица 2.5

Расчетная таблица для нахождения общей дисперсии

№п/п
18,24 -7,87 62,01
17,19 -8,92 79,64
21,82 -4,29 18,44
16,93 -9,18 84,35
20,96 -5,15 26,57
19,27 -6,84 46,84
7 19,13 -6,98 48,78
20,80 -5,31 28,24
18,80 -7,31 53,50
17,11 -9,00 81,08
17,18 -8,93 79,82
25,14 -0,97 0,95
47,18 21,07 443,76
50,84 24,73 611,36
63,70 37,59 1412,68
22,50 -3,61 13,06
18,27 -7,84 61,53
23,10 -3,01 9,09
22,24 -3,87 15,01
23,47 -2,64 6,99
16,01 -10,10 102,10
24,22 -1,89 3,59
26,67 0,56 0,31
25,88 -0,23 0,05
23,40 -2,71 7,37
       

Продолжение таблицы 2.5

 

26 23,25 -2,86 8,20
29,93 3,82 14,56
26,73 0,62 0,38
39,92 13,81 190,60
43,55 17,44 304,00
итого 783,43   3814,87

 

=783,43/ 30 = 26,11

- общее среднее значение признака

n – количество элементов

– - общая дисперсия для нечастотного распределения признака

- отдельные значения признака

- общее среднее значение признака

n – количество элементов

Найдем межгрупповую дисперсию:

Таблица 2.6

Расчетная таблица для межгрупповых дисперсий

Группы регионов по численности населения Среднемесячная номинальная начисленная з/п x xi-x (xi-x)2 ∑(xi-x)2
0.21 - 0.895 17,18 31,40 -14,22 202,21 1712,31
63,7 32,30 1043,29

 

Продолжение таблицы 2.6

  18,27   -13,13 172,40  
22,24 -9,16 83,91
23,47 -7,93 62,88
43,55 12,15 147,62
0.89 - 1.58 18,24 22,51 -4,27 18,23 442,44
17,19 -5,32 28,30
16,93 -5,58 31,14
19,13 -3,38 11,42
17,11 -5,40 29,16
23,1 0,59 0,35
24,22 1,71 2,92
26,73 4,22 17,81
39,92 17,41 303,11
1.58 - 2.26 19,27 33,35 -14,08 198,25 515,84
50,84 17,49 305,90
29,93 -3,42 11,70
2.26 - 2.95 21,82 22,26 -0,44 0,19 86,06
18,8 -3,46 11,97
16,01 -6,25 39,06
26,67 4,41 19,45
25,88 3,62 13,10
23,4 1,14 1,30
23,25 0,99 0,98
2.95 - 3.63 20,96 27,86 -6,90 47,61 499,45
20,8   -7,06 49,84  
47,18 19,32 373,26
22,5 -5,36 28,73
3.63 - 4.32 25,14 25,14 0,00 0,00 0,00

 

18,6

Найдём внутригрупповые дисперсии для каждой группы регионов:

 

σ24,

σ25

σ26, = 0, т.к. в данных группах регионов, вес интервала не превышает единицы.

Найдём среднюю из внутригрупповых дисперсий:

По правилу сложения дисперсий, получим:

127,16 = 127,16

Вывод: теорема подтверждена.

Показана выполнимость Теоремы о разложении дисперсий.

4. Для определения параметров уравнения линейной регрессии строим расчетную таблицу 2.7.

Пусть - Среднемесячная номинальная начисленная з/п работников организаций тыс/руб

- Численность населения на 1 января 2013 года млн. чел.

Таблица 2.7.

Расчетная таблица для вычисления тесноты связи между признаками

Регионы Численность населения на 1 января 2013 года млн. чел. Среднемесячная номинальная начисленная з/п работников организаций тыс/руб Y2 X2 y*x
Удмурдская респ-ка 1,52 18,24 332,70 2,31 768,6645
Чувашская респ-ка 1,24 17,19 295,50 1,54 454,3548
Пермский край 2,63 21,82 476,11 6,92 3293,222
Кировская обл. 1,32 16,93 286,62 1,74 499,4152
Нижегородская обл. 3,29 20,96 439,32 10,82 4755,261
Оренбургская обл. 2,02 19,27 371,33 4,08 1515,187
Пензенская обл. 1,37 19,13 365,96 1,88 686,8645
Самарская обл. 3,21 20,80 432,64 10,30 4457,966
Саратовская обл. 2,5 18,80 353,44 6,25
Ульяновская обл. 1,27 17,11 292,75 1,61 472,1799
Курганская обл. 0,89 17,18 295,15 0,79 233,7902
Свердловская обл. 4,32 25,14 632,02 18,66
Тюменьская обл. 3,51 47,18 2225,95 12,32 27423,96
Ханты-Мансийский авт. Округ 1,58 50,84 2584,71 2,50 6452,459
Югра Ямало - Ненецкий авт. Окр. 0,54 63,70 4057,69 0,29 1183,222
Челябинская обл. 3,49 22,50 506,25 12,18 6166,176
Респ. Алтай 0,21 18,27 333,79 0,04 14,72027
Респ. Бурятия 0,97 23,10 533,61 0,94 502,0736
Респ. Тыва 0,31 22,24 494,62 0,10 47,53275
Респ. Хакасия 0,53 23,47 550,84 0,28 154,7312
Алтайский край 2,4 16,01 256,32 5,76 1476,404
Забайкальский край 1,1 24,22 586,61 1,21 709,7962
Краснодарский край 2,85 26,67 711,29 8,12 5777,444
Иркутская обл. 2,42 25,88 669,77 5,86 3922,467
Кемеровская обл. 2,74 23,40 547,56 7,51 4110,861

 

Продолжение таблицы 2.7

 

Новосибирская обл. 2,71 23,25 540,56 7,34 3969,945
Омская обл. 1,97 29,93 895,80 3,88 3476,529
Томская обл. 1,06 26,73 714,49 1,12 802,8042
Респ. Саха (Якутия) 0,96 39,92 1593,61 0,92 1468,668
Камчатский край 0,32 43,55 1896,60 0,10 194,2121

 

Получено уравнение регрессии: .

С увеличением численности населения среднемесячная номинальная
начисленная з/п работников организаций уменьшается на 1,28 тыс. рублей.

3. Для оценки тесноты связи рассчитаем линейный коэффициент парной корреляции:

Коэффициент детерминации:

Коэффициент корреляции, равный , показывает, что между рассматриваемыми признаки существует слабая, практически отсутствующая прямая связь (0.1 >rxy< 0.3). Коэффициент детерминации, равный , устанавливает, что вариация Среднемесячная номинальная начисленная з/п работников организаций на % из 100% предопределена вариацией численности населения. роль прочих факторов, влияющих на число ДТП, определяется в 98,49%.

 

Общий вывод:средняя численность населения на 1 января 2013 года млн. чел равна 1,84 млн. человек, средняя значение номинальной начисленной з/п работников организаций тыс./руб., равна 26,11 тыс. рублей. Большая часть областей (9 из 30) обладает численностью населения в интервале от 0.89 до 1.58 млн. человек. Из них 8 лежит в интервале от 16,01 – 29,95 и один в интервале от 39,83 до 47,77.
Половина регионов имеет численность населения на 1 января 2013 года меньше 0,92 млн. человек. Другая – больше. В половине регионов среднемесячная номинальная з/п работников организаций не превышает 13,05 т.р. Колеблемость признака в совокупности признак - фактора составляет