Сдвиг, кручение стержней круглого сечения

1. Сдвиг. Основные понятия.

2. Определение кручения – как вид деформации.

3. Условие прочности при кручении.

4. Деформации и перемещения при кручении валов.

5. Определение потенциальной энергии деформации тела.

Если на гранях элемента действуют только касательные напряжения, то такой вид напряженного состояния называется чистым сдвигом. Площадки, по которым действуют только касательные напряжения, называются площадками чистого сдвига.

Примером тела, во всех точках которого имеет место чистый сдвиг, является скручиваемый стержень круглого сечения.

Кроме расчетов на прочность при чистом сдвиге на практике часто производят расчеты на прочность по касательным напряжениям независимо от того, по каким площадкам они действуют: по площадкам чистого сдвига или по любым другим площадкам.

Такие расчеты называются расчетами на сдвиг (срез), а для дерева и бетона применяется также термин – скалывание.

Примером соединений, рассчитываемых на срез, являются заклепочные, болтовые и сварные соединения. Как показывает практика, расчеты на срез являются вполне надежными.

Напряженное состояние при чистом сдвиге

При чистом сдвиге главные напряжения получаются равными по значению и противоположные по знаку: , т.е. одно главное напряжение - растягивающее, другое – сжимающее.

Главные площадки наклонены под углом 45⁰ к направлению площадок чистого сдвига

Рассмотрим теперь деформацию при сдвиге

Элемент КВСД прямоугольный до деформации после деформации (сдвига) примет вид КВ’С’Д’ (грань КД считается закрепленной). Угол - называется угловой деформацией или углом сдвига

Опыты показывают, что для многих материалов до известных пределов нагружения между напряжениями и деформациями при сдвиге имеет место линейная зависимость: , которая выражает закон Гука при сдвиге, где - модуль сдвига (модуль упругости второго рода, который характеризует способность материала сопротивляться деформации сдвига).

Линейная зависимость между и справедлива до тех пор, пока касательные напряжения не превысят предела пропорциональности при сдвиге.

При чистом сдвиге объемная деформация , т.к. , , . Из свойства взаимности касательных напряжений легко установить свойство взаимности угловых деформаций.

Действительно, если закрепить грань КД (см. предыд. рис.), то получим угол сдвига:

Закрепив теперь грань КВ’, получим для

, т.к. правые части равны, то равны и левые, т.е.

Следовательно, угловые деформации двух взаимно перпендикулярных площадок равны по значению и противоположны по знаку (свойство взаимности угловых деформаций).

Таким образом, картина перемещения элемента 1234 в результате линейных и угловых деформаций имеет вид:

Можно сначала представить элемент 1234, как абсолютно жесткий. Он перемещается в положение 1’2’3’4’ поворачиваясь на угол .

Затем, в результате линейных деформаций происходит удлинение сторон 12 и 34 и укорочение сторон 14 и 23.

В результате угловых деформаций происходит поворот сторон 1’4’ и 4’3’ на равные по величине и противоположные по знаку углы , так что окончательно элемент 1234 будет занимать положение 4’1’’2’’3’’.

Потенциальная энергия при сдвиге.

Зависимость между тремя упругими постоянными

Вычислим потенциальную энергию при сдвиге.

Для простоты предположим, что грань КД элемента неподвижна.

Тогда, при смещении верхней грани сила (где - толщина элемента) совершит работу на перемещение .

Следовательно, потенциальная энергия деформации, накопленная в элементе:

Удельная потенциальная энергия:

Выразив через по закону Гука: , где - модуль сдвига

Множитель принят потому, что сила прямо пропорциональна смещению.

С другой стороны, потенциальная энергия может быть выражена через главные нормальные напряжения.

Для плоского напряженного состояния, каким является чистый сдвиг, принимая , получим:

Но главные напряжения при сдвиге равны и , следовательно:

т.к. энергия не должна зависеть от ориентировки граней элемента, то приравнивая правые части выражений, получим:

Отсюда найдем зависимость между модулем сдвига и модулем упругости первого рода :

Для стали модуль сдвига:

Практические расчеты на сдвиг (срез) заклепочных и сварных соединений подробно рассматриваются в курсах деталей машин и стальных конструкций.

Условие прочности заклепок на срез

- сила , действующая на соединение

- площадь

- число заклепок

Из этой формулы можно определить необходимое число односрезных заклепок: .

При двухсрезном или многосрезном заклепочном соединении вместо в формулу подставляют общее число срезов заклепок, расположенных по одну сторону стыка.

Односрезное соединение - если разрушение каждой заклепки происходит по одной плоскости среза.

Двухсрезное соединение - если разрушение каждой заклепки происходит по двум и более плоскостям.

Отверстия в склёпываемых листах имеет диаметр на 0,5-10 мм больше диаметра ещё не поставленной задачи.

В расчетные формулы входит диаметр отверстия, т.к. в выполненном соединении заклепка практически полностью заполняет отверстие.

Допускаемые касательные напряжения обычно устанавливают опытным путем для выявления влияния на прочность соединения неравномерности в распределении напряжений, влияние сил трения, зазоров.

При расчете заклепок принимают: , где - допускаемое напряжение на растяжение.

Кроме расчета на срез заклепочные соединения также рассчитывают на смятие. Проверяют напряжения смятия по площади соприкосновения соединяемых листов и заклепок. Площадь смятия одной заклепки:

( - толщина соединяемых листов).

Напряжения смятия считают равномерно распределенными по площади смятия и условие прочности на смятие имеет вид: , где -допускаемое напряжение на смятие.

Отсюда можно выразить определение необходимого числа заклепок по условию прочности на смятие: .

Кручение стержней круглого сечения

Кручением называют вид деформации бруса, при котором в его поперечных сечениях возникает один внутренний силовой фактор – крутящий момент .

Кручение бруса вызывают скручивающие (вращающие) моменты, действующие в параллельных сечениях. Обычно эти скручивающие моменты возникают под действием внешних моментов. Внешние моменты передаются на вал, как правило, в метах посадки на него шкивов, зубчатых колес и т.д.

Однако и поперечная нагрузка, смещенная относительно оси стержня, вызывает крутящие моменты, но в нашем случае в поперечных сечениях, наряду с крутящими моментами, возникают и другие внутренние усилия – поперечные силы и изгибающие моменты.

Брус, нагруженный вращающимися моментами, обычно называют валом.

При равномерном вращении вала сумма вращающих моментов, действующих на вал =0.

При известных: передаваемой мощности и угловой скорости вращающий момент можно определить по формуле:

Если известна частота вращения вала , то его угловая скорость равна: , а вращающий момент .

В сопротивлении материалов реальный объект заменяют расчетной схемой, отбрасывая факторы, которые, не влияя заметно на результат, усложняют расчет.

Участки вала между сечениями, в которых приложены внешние моменты, скручиваются.

Крутящий момент в любом сечении вала определяется методом сечений.

Мысленно рассекаем вал плоскостью. Отбрасываем одну часть вала, заменив действие отброшенной части на оставленную моментом и определяем его значение из условия прочности.

Крутящий момент в сечении вала численно равен алгебраической сумме внешних (скручивающих) моментов, расположенных по одну сторону от сечения.

Если на вал действуют несколько вращающих моментов, то для определения опасного сечения или участка вала строят эпюры крутящих моментов аналогично эпюрам продольных сил.

Условно, крутящий момент считают положительным (при построении эпюр ) если, глядя на сечение, мы видим крутящий момент, направленный по часовой стрелке.

Т.к. по условию равновесия крутящий момент уравновешивает внешние моменты, приложенные к оставленной части вала, то его знак противоположен знаку внешних моментов.

Определение напряжений в стержнях круглого сечения

Крутящие моменты представляют лишь равнодействующие внутренних сил.

Фактически в поперечном сечении скручиваемого стержня действуют непрерывно распределенные внутренние касательные напряжения.

Если на поверхность стержня круглого сечения нанести прямоугольную сетку, то после деформации окажется:

1. Прямоугольная сетка, превратится в сетку, состоящую из параллелограммов. Это говорит о наличии касательных напряжений в поперечных сечениях бруса. А по закону парности касательных напряжений – и в продольных его сечениях.

2. Расстояние между окружностями, например, между I и II не изменятся. Не изменятся и длина стержня и его диаметр.

Согласно гипотезе плоских и жестких сечений каждое поперечное

сечение поворачивается в своей плоскости на некоторый угол как жесткое целое. На основании этой гипотезы можно считать, что радиусы всех поперечных сечений будут поворачиваться (на разные углы), оставаясь прямолинейными.

На основании этого можно принять, что при кручении в поперечных сечениях стержня действуют только касательные напряжения, т.е. напряженное состояние в точках скручиваемого стержня представляет собой чистый сдвиг.

Формулы, полученные на основе этого допущения, подтверждаются опытами.

Точка Д переместится по дуге ДД’, а точка С по дуге СС’,

Для установления закона распределения касательных напряжений по поперечному сечению скручиваемого стержня рассмотрим более детально деформации стержня.

На этой схеме более детально изображена сторона KN элемента KLMN.

Угол сдвига для элемента KLMN, лежащего на поверхности стержня, равен отношению отрезка NN’ к длине элемента .

Выделяя мысленно из рассматриваемой части бруса цилиндр произвольного радиуса и повторяя те же рассуждения, получим угол сдвига для элемента, от стоящего на расстоянии до оси стержня:

На основании закона Гука при сдвиге имеем: .

Как видим, при кручении деформации сдвига и касательные напряжения прямо пропорциональны расстоянию от центра тяжести сечения.

В центре тяжести круглого сечения касательные напряжения =0.

Наибольшие касательные напряжения будут в точках сечения, расположенных у поверхности стержня.

Зная закон распределения касательных напряжений (можно определить их из условия прочности), что крутящий момент в сечении представляет собой равнодействующий момент касательных напряжений в сечении:

Под интегралом – элементарный крутящий момент внутренних сил, действующих на площадке . Подставляя в формулу значение напряжений, получим: .

Выражение под интегралом во втором случае - полярный момент инерции, получим:

, где

- формула для определения касательных напряжений при кручении.

Наибольшее касательное напряжение возникает у контура сечения:

, т.к.

- определение диаметра вала при кручении.

Геометрическая характеристика называется полярным моментом инерции или моментом сопротивления при кручении.

Для круглого сплошного сечения:

Условие прочности при кручении

Условие статической прочности вала при кручении имеет вид:

Кроме проверки на прочность по этой формуле можно также подбирать диаметр вала или определять допускаемый крутящий момент при известных остальных величинах: .

Опыты показывают, что хрупкие материалы, например, чугун, при кручении разрушается по плоскости (точнее говоря, по винтовой поверхности), наклоненной к оси вала под углом , т.е. по тем плоскостям, где действуют наибольшие растягивающие напряжения.

Чистый сдвиг – когда при кручении во всех точках стержня, кроме точек его оси (в которых вообще не возникает напряжений) имеется двухосное напряженное состояние.

Напряженное состояние называется неоднородным, если при кручении материал у поверхности стержня напряжен сильнее, чем материал, расположенный ближе к осям стержня.

Напряженное состояние называется однородным, если во всех точках возникают одинаковые напряжения.

Деформации и перемещения при кручении валов.

Для вычисления деформаций вала при кручении воспользуемся формулой

Деформация вала на длине (взаимный угол поворота сечений) равна:

Аналогично, для вала длиной , получим:

- определение углов закручивания.

Угол закручивания, приходящийся на единицу длины, называется относительным углом закручивания. Он равен

Для обеспечения требуемой жесткости вала необходимо, чтобы наибольший относительный угол закручивания не превосходил допускаемого, т.е.

- условие жесткости вала при кручении. Допускаемый относительный угол закручивания в радианах на единицу длины вала.

В большинстве случаев допускаемый относительный угол закручивания задают в градусах на 1 м длины, тогда взамен этой формулы получим:

Угол выбирают в зависимости от назначения вала и его размеров. Для валов средних размеров в «Справочнике машиностроителя» рекомендуется принимать допускаемый угол закручивания равным 0,5⁰ на

1 м длины.

Определение потенциальной энергии деформации вала

При кручении внешние моменты совершают работу вследствие поворота сечений, к которым они приложены. Эта работа расходуется на создание запаса потенциальной энергии деформации, численно равной работе внутренних сил.

Аналогично тому, что было сделано при растяжении, можно доказать, что работа статически приложенного внешнего скручивающего момента равна половине произведения конечного значения момента на окончательный угол закручивания: .

Элементарная работа внутренних сил, отрицательная по знаку, и численно равная ей потенциальная энергия при кручении равна:

- крутящий момент

- угол закручивания элемента длиной

Но по формуле:

Если крутящий момент и жесткость стержня не меняются по длине, то имеем: .

Правила знаков:

Гипотезы теории кручения валов круглого сечения

1. Сечения, плоские до деформации, остаются плоскими и после деформации, поворачиваясь относительно друг друга на некоторый угол (гипотеза плоских сечений).

2. Расстояния между поперечными сечениями в процессе деформации не изменяются, т.е. длина вала остается постоянной.

3. Радиусы поперечных сечений при деформации вала не искривляются.

Эти гипотезы подтверждаются не только экспериментальными

исследованиями, но также точным решением задачи методами теории упругости

Условия и порядок выполнения

1. Стальной вал круглого сплошного поперечного сечения нагружен внешними скручивающими моментами в соответствии с заданной схемой.

Требуется построить эпюру внутренних крутящих моментов и из условия прочности определить диаметр вала. Полученный из расчета диаметр вала округлить до ближайшего целого числа соответственно: 30, 35, 40, 45, 50, 60, 70, 80, 90, 100.

2. Для принятого диаметра вала построить эпюру углов закручивания по- перечных сечений относительно крайнего левого сечения. Определить также наибольший относительный угол закручивания (на 1 пог. м.). Модуль упругости при кручении для стали принять равным 8∙10⁴ МПа.

3. Исходные данные для решения задачи (вариант) берутся из табл. 3. Нумерация моментов для всех задач постоянна, как показано на первых рисунках.

Таблица 3

Исходные данные к заданию 3

Вариант	Длины участков, м	Внешние скручивающие моменты, кНм	Допускаемое касательное напряжение, [τ],МПа
а	в	с	Т₁	Т₂	Т₃	Т₄
	1,1	1,3	0,8	1,3	1,5	1,8	1,0
	1,2	1,4	0,9	1,4	1,6	1,9	1,1
	1,3	1,5	1,0	1,5	1,7	2,0	1,2
	1,4	1,6	1,1	1,6	1,8	2,1	1,3
	1,5	1,7	1,2	1,7	1,9	2,2	1,4
	1,6	1,8	1,3	1,8	2,0	2,3	1,5
	1,7	1,9	1,4	1,9	2,1	2,4	1,6
	1,8	2,0	1,5	2,0	2,2	2,5	1,7
	1,9	2,1	1,6	2,1	2,3	2,6	1,8
	2,0	2,2	1,7	2,2	2,4	2,7	1,9